Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex8104] mines MP 2022 Limite et équivalent simple en \(0^+\) de \(x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).

[oraux/ex2467] mines PSI 2010 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over1+tx}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D\). Déterminer ses variations, \(f(0)\) et la limite de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

3. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

[oraux/ex2307] mines PC 2005

1. Domaine de définition de \(f\) telle que, pour tout \(x\) : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\,dt\over x^2+t}\) ?

2. La fonction \(f\) est-elle continue ?

3. Montrer qu’en \(+\infty\) : \(f(x)\sim1/x^2\).

[planches/ex0725] ccp PSI 2013

1. Soit \(\varphi:x\mapsto\displaystyle\int_0^1{t^{x-1}\over t+1}\,dt\).

   1. Déterminer le domaine de définition de \(\varphi\).

   2. Montrer que \(\varphi\) est l’unique fonction vérifiant \(\varphi(x+1)+\varphi(x)=\displaystyle{1\over x}\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}\varphi(x)=0\).

2. Soit \(S=\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}{(-1)^{n-1}\over2n-1}\).

   1. Justifier l’existence de \(S\).

   2. Calculer \(\varphi(1/2)\).

   3. En calculant \(\varphi(n+1/2)\), déterminer \(S\).

[planches/ex7490] escp B/L 2022 Soit \(F\) donnée par : \(F(x)=\displaystyle\int_{0}^1 \displaystyle\frac{t^{x-1}}{t+1}\,dt\)

1. 1. Préciser le domaine de définition \(D\) de \(F\).

   2. Déterminer les limites de \(F\) aux bornes de \(D\).

   3. Montrer que \(F\) est décroissante sur \(D\).

   On admet que \(F\) est continue sur \(D\).

2. 1. Montrer que \(F\) vérifie : \(\forall x\in D ~~~F(x)+F(x+1)=\displaystyle\frac{1}{x}\)

   2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\to 0} xF(x)=1\).

   3. Représenter graphiquement la fonction \(F\).

3. 1. Soit \(x\in D\) fixé. Montrer que pour tout \(t\in [0,1]\) on a : \(\displaystyle\frac{t^{x-1}}{t+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k t^{x+k-1} + R_{n}(t)\) où \(R_n\) est une fonction à préciser.

   2. En déduire l’expression de \(F\) sous forme de série.

4. Retrouver cette expression à l’aide de la question 2.