Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8927] ens paris MP 2016

1. Déterminer les morphismes continus de \((\mathbf{C}^*,{\times})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

2. Déterminer les morphismes continus de \((\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C}),{\times})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

[examen/ex0202] mines PC 2023 Soit \(g:\mathbf{U}\to\mathbf{U}\) une fonction continue telle que : \(\forall z_1\), \(z_2\in\mathbf{U}\), \(g(z_1z_2)=g(z_1)g(z_2)\). Pour \(t\in\mathbf{R}\), on pose \(f(t)=g(e^{it})\).

1. Quelle égalité fonctionnelle vérifie \(f\) ?

2. En introduisant \(F:t\mapsto\displaystyle\int_0^tf(s)\,\mathrm{d}s\), montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\).

3. Montrer qu’il existe \(\lambda\in\mathbf{R}\) tel que : \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(f(t)=e^{i\lambda t}\).

4. Montrer qu’il existe \(n\in\mathbf{Z}\) tel que : \(\forall z\in\mathbf{U}\), \(g(z)=z^n\).

5. Déterminer l’ensemble des fonctions continues \(h:\mathbf{C}^*\to\mathbf{C}^*\) telles que : \[\forall z_1,z_2\in\mathbf{C}^*,\quad h(z_1z_2)=h(z_1)h(z_2).\]

[oraux/ex3526] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2011 Déterminer les morphismes continus de \((\mathbf{R},{+})\) dans \((\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C}),{\times})\). Parmi les morphismes précédents, déterminer ceux qui sont 1-périodiques.

[planches/ex9588] polytechnique, espci PC 2023 Soit \(A:\mathbf{R}\to\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) continue telle que \(A(0)=A(1)=I_n\) et \(A(s+t)=A(s)A(t)\) pour tous \(s,t\).

1. Donner des exemples non triviaux de telles applications.

2. Montrer qu’il existe \(P\) inversible et \(\lambda_1\), … , \(\lambda_n\in\mathbf{Z}\) tels que : \[\forall t\in\mathbf{R},\quad A(t)=P\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(e^{2i\pi\lambda_1t},\ldots,e^{2i\pi\lambda_nt})P^{-1}.\]

[concours/ex7132] tpe MP 2005 Déterminer les morphismes de groupes dérivables de \((\mathbf{R},{+})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

[planches/ex3571] mines MP 2018 Soient \(E\) un espace euclidien et \(u\) une application de classe \(\mathscr{C}^1\) de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits(E)\). Montrer que \(u\) est un morphisme de groupes si, et seulement si, il existe un endomorphisme antisymétrique \(a\) de \(E\) tel que \(u(t)=\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(ta)\) pour tout \(t\in\mathbf{R}\).

[concours/ex9206] centrale MP 2006 Quelles sont les fonctions \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{C}\) qui sont continues, de période \(2\pi\) et vérifient \(f(x+y)=f(x)f(y)\) pour tous \(x\) et \(y\) réels ?

[planches/ex3441] mines MP 2018

1. Montrer que pour toute famille finie de matrices diagonalisables commutant deux à deux, il existe une base de vecteurs propres communs.

2. Montrer que tout sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) constitué de symétries est abélien. Déterminer le cardinal maximal d’un tel sous-groupe.

3. Est-ce que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_p(\mathbf{C})\) sont isomorphes lorsque \(n\neq p\) ?

[oraux/ex6889] polytechnique MP 2013 Soit \(\mathbf{K}\) un corps de caractéristique différente de 2.

1. Soient \(n\) un entier naturel non nul et \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) tel que \(\forall M\in G\), \(M^2=I_n\). Montrer que \(G\) est abélien, fini et que \(|G|\leqslant 2^n\).

2. Soit \(m\) et \(n\) deux entiers naturels non nuls. À quelle condition (nécessaire et suffisante) sur \(m\) et \(n\) les groupes \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{K})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) sont-ils isomorphes ?

[oraux/ex4180] centrale MP 2011 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) tel que, pour tout \(g\) dans \(G\), on ait : \(g^2=I_n\).

1. Montrer que \(G\) est abélien.

2. Montrer qu’il existe \(p\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que toutes les \(pgp^{-1}\), \(g\in G\) soient diagonales.

3. Montrer que \(G\) est fini, majorer son cardinal par une expression ne dépendant que de \(n\).

4. Montrer que si \(m\) est dans \(\mathbf{N}^*\) et \(m\neq n\), les groupes \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) ne sont pas isomorphes.

[concours/ex3705] ens cachan M 1992

1. Soit \(K\) un corps commutatif de caractéristique différente de \(2\). Soit \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\) tel que, pour tout \(A\) de \(G\), \(A^2=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\). Que dire du cardinal de \(G\) ?

2. Étudier l’existence d’isomorphismes entre les groupes suivants : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(K)\), entre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{Q})\), entre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\).

[concours/ex7087] centrale MP 2005

1. Soit \(G\) un groupe tel que : \(\forall g\in G\), \(g^2=e\). Montrer que \(G\) est abélien.

2. Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) tel que : \(\forall A\in G\), \(A^2=I_n\). Montrer qu’il existe \(P\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) tel que, pour tout \(A\) de \(G\), \(P^{-1}AP\) soit diagonale ; en déduire : \(|G|\leqslant 2^n\).

3. Montrer que les groupes \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) ne sont pas isomorphes si \(n\neq m\).

[concours/ex9609] centrale MP 2006

1. Soit \(E\) un espace vectoriel complexe de dimension finie et \(\mathscr{U}\) un ensemble d’endomorphismes diagonalisables de \(E\) qui commutent deux à deux. Montrer l’existence d’une base de \(E\) qui diagonalise tout élément de \(\mathscr{U}\).

2. Soit \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) dont tout élément est de carré \(I_n\). Montrer que \(G\) est commutatif et de cardinal \(\leqslant 2^n\).

3. Montrer que si \(n\) et \(m\) sont distincts, les groupe \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) ne sont pas isomorphes.

[concours/ex0834] ens lyon MP 1997 Soient \(L\) et \(K\) deux corps commutatifs de caractéristique différente de \(2\).

1. Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\) tel que, pour tout \(A\in G\), \(A^2=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_n\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits G\leqslant 2^n\).

2. On suppose qu’il existe un homéomorphisme injectif de groupes de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(L)\). Montrer que \(n\leqslant m\).

[planches/ex1965] mines MP 2017 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) tel que, pour tout \(g\in G\), \(g^2=I_n\).

1. Montrer que \(G\) est abélien et que son cardinal est une puissance de 2. Quel est le cardinal maximal d’un tel sous-groupe ?

2. Que peut-on dire de \(m\) et \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\) tels que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) soient isomorphes ?

[planches/ex7956] mines MP 2022

1. Soit \((m,n)\in{\mathbf{N}^*}^2\). Montrer que les groupes \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) sont isomorphes si et seulement si \(m=n\).

2. Généraliser en remplaçant \(\mathbf{C}\) par un corps \(\mathbf{K}\).

[concours/ex7783] ens paris MP 2008

1. Déterminer les morphismes continus de \((\mathbf{U},{\times})\) dans \((\mathbf{R},{+})\).

2. Déterminer les morphismes continus de \((\mathbf{U},{\times})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

[planches/ex6422] polytechnique MP 2021

1. Soient \(G\) un groupe, \(\chi_1\), … , \(\chi_m\) des morphismes distincts de \(G\) dans \(\mathbf{C}^*\). Montrer que \((\chi_1,\ldots,\chi_m)\) est une famille libre de \(\mathbf{C}^G\).

2. Déterminer les morphismes de groupes continus de \(\mathbf{U}\) dans \(\mathbf{C}^*\).

[concours/ex6967] ens paris 2004

1. Décrire les sous-groupes de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) isomorphes à \(\left(\vphantom{|_|}\smash{(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^p,{+}}\right)\) si \((n,p)\in(\mathbf{N}^*)^2\).

2. Les groupes \(\left(\vphantom{|_|}\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C}),{\mathbin{\circ}}\right)\) et \(\left(\vphantom{|_|}\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C}),{\mathbin{\circ}}\right)\) sont-ils isomorphes ?

[planches/ex1476] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2017 Déterminer les endomorphismes continus du groupe \((\mathbf{C}^*,{\times})\).