Édition de feuilles d'exercices

[fct.reelles/ex1273] Soit \[f(x)={x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\over x^2-1}.\] Étudier la fonction \(f\) au voisinage du point d’abscisse \(1\).

[fct.reelles/ex4253] Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbf{R}_+^*\setminus\{1\}\) par : \[f(x)={x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\over x^2-1}.\]

1. Déterminer la valeur qu’il convient de donner à \(f(1)\) pour que \(f\) ainsi définie sur \(\mathbf{R}_+^*\) soit continue.

2. \(f\) est-elle alors dérivable en \(x_0=1\) ?

[concours/ex4094] mines M 1990 Etudier la fonction \(x\longmapsto\displaystyle{x^2-1\over x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x}\).

[fct.reelles/ex3981] Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0=0\) et de \(x_0=-1\), la tracer au voisinage de \(M_0\left(\vphantom{_|}x_0,f(x_0)\right)\) (on étudiera la possibilité de la prolonger par continuité, la dérivabilité, la position de la courbe par rapport à la tangente…) : \[f:x\longmapsto\left|1+{1\over x}\right|^x.\]

[fct.reelles/ex0317] On définit, pour \(x\neq0\), \[f(x)={1\over x}-{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{arcsin}}{\hbox{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}}\nolimits x}\,.\] Montrer que \(f\) se prolonge par continuité en \(0\) et faire une étude locale de la fonction prolongée en \(0\).

[fct.reelles/ex1356] Soit \(f(x)=|\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits x|^{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x}\) ; étude locale au voisinage de \(x_0=\displaystyle{\pi\over2}\) et \(x_0=0\).

[fct.reelles/ex1055] Étude de \(f:x\mapsto|\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits x|^{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x}\).

[fct.reelles/ex3977] Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0=0\), la tracer au voisinage de \(M_0\left(\vphantom{_|}x_0,f(x_0)\right)\) (on étudiera la possibilité de la prolonger par continuité, la dérivabilité, la position de la courbe par rapport à la tangente…) : \[f:x\longmapsto x^\alpha\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x.\]

[fct.reelles/ex4686] Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[1,+\infty\right[\) par : \[f(x)=\cases{3& si $x=1$,\cr\displaystyle{(x+2)(x-1)\over x\,\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x}&si $x>1$.\cr}\] Montrer que \(f\) est continue et dérivable sur \(\left[1,+\infty\right[\).

[fct.reelles/ex1350] Étude locale au voisinage de \(0\) de la fonction : \[f:x\longmapsto \mathop{\mathchoice{\hbox{arcsin}}{\hbox{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}}\nolimits\bigl(e^{-x^2}\bigr).\]

[fct.reelles/ex0361] Soit \(f\) la fonction définie pour \(x\in\mathbf{R}^*\) par \[f(x)={x\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits x-\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits x\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits x-1}\,.\]

1. Écrire le développement limité à l’ordre \(4\) de \(f(x)\) en \(0\).

2. En déduire le prolongement par continuité de \(f\) en \(0\).

3. Montrer que \(f\), ainsi prolongée, est dérivable en \(0\).

   Préciser la position de la courbe représentative de \(f\) par rapport à sa tangente au point d’abscisse \(0\), au voisinage de ce point.

[fct.reelles/ex1326] Trouver le comportement de la courbe de \(f(x)\) au voisinage de \((1,f(1))\), où \(f(x)=x^3-3x^2+3x+2\).

[fct.reelles/ex1046] Étudier la fonction \(x\mapsto\displaystyle{x^2\over x+1}e^{1/x}\) au voisinage de l’infini.

[fct.reelles/ex3993] Démontrer que la courbe représentative admet un point d’inflexion en \(x_0=0\), avec : \[f:x\longmapsto{2x^3\over(2x-1)^3}.\]

[fct.reelles/ex3984] Étudier à l’aide de développements limités les branches infinies de la fonction suivante : direction asymptotique ? asymptote ? branche parabolique ? courbe asymptote ? position de la courbe par rapport à l’asymptote ? \[f:x\longmapsto{x^3\over x-1}.\]

[oraux/ex5606] centrale MP 2012 (avec Maple)

1. Si \(x\in\mathbf{R}^+\), montrer qu’il existe un unique \(y\in\mathbf{R}^+\) tel que \(y^4+y=x\). On le note \(f(x)\).

2. Étudier la régularité de \(f\).

3. Tracer le graphe de \(f\) sur \([0,1]\).

4. Donner le développement limité de \(f\) à l’ordre \(6\) en 0.

5. Conjecturer puis démontrer une propriété de ce développement limité.

[oraux/ex5335] mines MP 2012 Déterminer le développement limité en \(0\) à l’ordre \(2\) de \(f:x\mapsto \left(\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits(x+\displaystyle\frac\pi4)\right)^{-1/\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits(2x)}\). Donner l’allure de la courbe au voisinage de \(0\).

[fct.reelles/ex3983] Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0=0\), la tracer au voisinage de \(M_0\left(\vphantom{_|}x_0,f(x_0)\right)\) (on étudiera la possibilité de la prolonger par continuité, la dérivabilité, la position de la courbe par rapport à la tangente…) : \[f:x\longmapsto(\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits x)^{1/x}.\]

[fct.reelles/ex4255] Soit \(f\) une fonction de classe \(C^\infty\), sur un voisinage \(V\) de 0, définie par : \[\forall x\in V\qquad x\cdot[f(x)-2]+e^{f(x)-1}-1=0.\]

1. Déterminer un développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de \(f\).

2. En déduire l’allure locale de la courbe représentative de \(f\).

[fct.reelles/ex1272] Soit \[f(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\displaystyle{1\over x}\sqrt{x^4+x^3+1}.\] En déterminant un développement limité généralisé de \(f(x)\) en \(+\infty\), montrer que la courbe d’équation \(y=f(x)\) est asymptote à une parabole dont on donnera une équation.

[fct.reelles/ex3988] Étudier à l’aide de développements limités les branches infinies de la fonction suivante : direction asymptotique ? asymptote ? branche parabolique ? courbe asymptote ? position de la courbe par rapport à l’asymptote ? \[f:x\longmapsto\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+4}.\]

[fct.reelles/ex3978] Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0=0\), la tracer au voisinage de \(M_0\left(\vphantom{_|}x_0,f(x_0)\right)\) (on étudiera la possibilité de la prolonger par continuité, la dérivabilité, la position de la courbe par rapport à la tangente…) : \[f:x\longmapsto x^{x^\alpha}.\]

[fct.reelles/ex3986] Étudier à l’aide de développements limités les branches infinies de la fonction suivante : direction asymptotique ? asymptote ? branche parabolique ? courbe asymptote ? position de la courbe par rapport à l’asymptote ? \[f:x\longmapsto{x^4-6x^2+1\over x^2+1}.\]

[planches/ex9864] mines MP 2023 Soit \(f:x\in\left]-1,+\infty\right[\mapsto x-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+x)\).

1. Montrer que \(f\) définit une bijection \(f_1\) de \(\left]-1,0\right]\) sur \(\mathbf{R}^+\) et une bijection \(f_2\) de \(\mathbf{R}^+\) sur \(\mathbf{R}^+\).

2. Déterminer un équivalent de \(f\) en \(0\). En déduire un équivalent de \(f_1^{-1}\) et \(f_2^{-1}\) en \(0\).

3. Déterminer le développement asymptotique à l’ordre \(2\) de \(f_2^{-1}\) en \(0\).

[fct.reelles/ex3990] Étudier à l’aide de développements limités les branches infinies de la fonction suivante : direction asymptotique ? asymptote ? branche parabolique ? courbe asymptote ? position de la courbe par rapport à l’asymptote ? \[f:x\longmapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(e^{2x}-e^x+1).\]

[concours/ex9180] mines PC 2005 On définit \(f\) sur \(\left]0,+\infty\right[\) par : \(\forall x\in\mathbf{R}_+^*\), \(f(x)=\displaystyle{1\over x}-{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+x)}\). Peut-on prolonger \(f\) en une fonction dérivable en 0 ? Soit \(C_f\) le graphe de la fonction ainsi prolongée. Quelle est la tangente \(T\) à \(C_f\) au point d’abscisse zéro ? Déterminer la position de \(C_f\) par rapport à \(T\).

[fct.reelles/ex1034] Soit \(x\mapsto f(x)=x+\displaystyle{1\over 1+e^{1/x}}\) définie sur \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer qu’au voisinage de \(0\) : \[f(x)=x+o(x).\] Étudier l’existence d’une asymptote oblique pour la représentation graphique \(C_f\), ainsi que la position relative de \(C_f\) et de son asymptote, au voisinage de \(+\infty\).

[fct.reelles/ex4685] Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbf{R}_+\) par : \[f(x)=\cases{\displaystyle{1\over6}&si $x=0$,\cr\displaystyle{x-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\over x^3}&si $x\in\mathbf{R}_+^*$.\cr}\] Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbf{R}_+\).

[fct.reelles/ex1355] Montrer que la courbe \(y=x^2e^{\textstyle{1\over x}}\) admet une parabole asymptote que l’on précisera.

[fct.reelles/ex3987] Étudier à l’aide de développements limités les branches infinies de la fonction suivante : direction asymptotique ? asymptote ? branche parabolique ? courbe asymptote ? position de la courbe par rapport à l’asymptote ? \[f:x\longmapsto x\sqrt{x-1\over x+1}.\]

[oraux/ex4510] ccp PSI 2011

1. Soit \(x\in\mathbf{R}\).

   Montrer qu’il existe un unique \(y\in\mathbf{R}\) tel que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(x+y)+y-1=0\). On le note \(\psi(x)\).

2. Donner un développement limité à l’ordre 1 en 0 de \(\psi\).

[fct.reelles/ex3995] Démontrer que la courbe représentative admet un point d’inflexion en \(x_0=1\), avec : \[f:x\longmapsto{x^2\over4}(2\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x-3).\]

[fct.reelles/ex1325] Trouver le comportement de la courbe de \(f(x)\) au voisinage de \((1,f(1))\), où \(f(x)=x^3-3x+3\).

[fct.reelles/ex3980] Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0=0\), la tracer au voisinage de \(M_0\left(\vphantom{_|}x_0,f(x_0)\right)\) (on étudiera la possibilité de la prolonger par continuité, la dérivabilité, la position de la courbe par rapport à la tangente…) : \[f:x\longmapsto\sqrt[3]{x^2(x-1)}.\]

[fct.reelles/ex3992] Étudier à l’aide de développements limités les branches infinies de la fonction suivante : direction asymptotique ? asymptote ? branche parabolique ? courbe asymptote ? position de la courbe par rapport à l’asymptote ? \[f:x\longmapsto x+2-(x-6)e^{-x}.\]

[fct.reelles/ex3994] Démontrer que la courbe représentative admet un point d’inflexion en \(x_0=\displaystyle{\pi\over3}\), avec : \[f:x\longmapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x.\]

[fct.reelles/ex4183] Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\displaystyle{1\over x^2}-{8\over x+1}\).

1. Etudier \(f\) et montrer que l’équation \(f(x)=0\) a deux solutions \(\alpha\) et \(\beta\), avec \(-1<\alpha<0<\beta<1\).

2. On considère la fonction \(F\) définie sur \(\mathbf{R}^*\setminus\{-1\}\) par : \[F(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\{t\in\mathbf{R}\mid f(t)=f(x)\}.\] Etudier la continuité de \(F\) en \(\alpha\) et en \(\beta\) et montrer que l’on peut prolonger \(F\) par continuité en \(-1\) et en \(0\).

3. Déterminer un développement limité à l’ordre 4 en 0 du prolongement \(\overline F\) de \(F\).

[fct.reelles/ex4176] Etudier les branches infinies de la courbe d’équation \(y=\sqrt{x^2+3x+1}\).

[oraux/ex4570] ccp PC 2011 Soit \(f:x\mapsto x(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits (1+2x)-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x)\). Déterminer le comportement de \(f\) en \(+\infty\). Déterminer l’équation de la droite asymptote à la courbe en \(+\infty\) ainsi que les positions relatives de la courbe et de son asymptote en \(+\infty\).

[fct.reelles/ex3979] Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0=0\), la tracer au voisinage de \(M_0\left(\vphantom{_|}x_0,f(x_0)\right)\) (on étudiera la possibilité de la prolonger par continuité, la dérivabilité, la position de la courbe par rapport à la tangente…) : \[f:x\longmapsto{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+x)\over e^x-1}.\]

[fct.reelles/ex1048] Déterminer la position relative de la courbe représentative de \(f\) par rapport à son asymptote oblique au voisinage de \(+\infty\), pour \[f:x\mapsto\displaystyle{x^3\over(x^2+1)\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits x}.\]

[fct.reelles/ex4175] Etudier les branches infinies de la courbe d’équation : \[y=x^3\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left|{x+1\over x-1}\right|.\]

[fct.reelles/ex4254] Déterminer l’asymptote et la position par rapport à l’asymptote, au voisinage de \(\pm\infty\), de la courbe représentative de : \[f:x\longmapsto(x+1)e^{\textstyle{1\over x}}.\]

[fct.reelles/ex3982] Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0=0\), \(x_0=\pi\), \(x_0=\displaystyle{3\pi\over2}\), la tracer au voisinage de \(M_0\left(\vphantom{_|}x_0,f(x_0)\right)\) (on étudiera la possibilité de la prolonger par continuité, la dérivabilité, la position de la courbe par rapport à la tangente…) : \[f:x\longmapsto(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x)^{\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits x}.\]

[fct.reelles/ex3996] Démontrer que la courbe représentative admet un point d’inflexion en \(x_0=\displaystyle{3\over2}\), avec : \[f:x\longmapsto e^{\textstyle{1\over1-x}}.\]

[fct.reelles/ex3991] Étudier à l’aide de développements limités les branches infinies de la fonction suivante : direction asymptotique ? asymptote ? branche parabolique ? courbe asymptote ? position de la courbe par rapport à l’asymptote ? \[f:x\longmapsto{x^2\over x+1}\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits x.\]

[fct.reelles/ex0362] Étudier les branches infinies de la courbe \(\Gamma\) d’équation \[y={x^3\over x+1}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left({x+1\over x}\right)\,.\]

[fct.reelles/ex0316] Faire une étude locale de \(x\mapsto\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits x}\) au point \(x=\displaystyle{\pi\over4}\).

[fct.reelles/ex3989] Étudier à l’aide de développements limités les branches infinies de la fonction suivante : direction asymptotique ? asymptote ? branche parabolique ? courbe asymptote ? position de la courbe par rapport à l’asymptote ? \[f:x\longmapsto xe^{1/x}.\]

[concours/ex6115] centrale PC 2007 Soit \(f:x\in\left]-1,1\right[\mapsto x^2+x^5\).

1. Montrer qu’il existe \((\alpha,\beta)\in\left]-1,0\right[\times\left]0,1\right[\) tel que, pour tout \(x\) dans \(E\), il existe un unique \(y\) distinct de \(x\) tel que \(f(y)=f(x)\), où \(E=\left]-\alpha,0\right[\cup\left]0,\beta\right[\). On note \(g(x)\) ce \(y\). Chercher la plus grande valeur de \(\alpha\).

2. Montrer que \(g\) est continue, décroissante, de classe \(C^1\) sur \(E\) et prolongeable par continuité en 0.

3. Montrer que \(g(x)\sim-x\) en 0, puis que \(g(x)+x\sim ax^p\) (avec \(p>1\) et \(a\neq0\)) en 0.

4. Montrer que, au voisinage de 0, \(g(x)=-x+ax^p+bx^q+o(x^q)\), avec \(q>p\) et \(b\neq0\).

5. On prend \(x=0,4\). Calculer \(f(x)\) puis évaluer \(f'(x)\).