Édition de feuilles d'exercices

[fct.reelles/ex1273] Soit \[f(x)={x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\over x^2-1}.\] Étudier la fonction \(f\) au voisinage du point d’abscisse \(1\).

[fct.reelles/ex4253] Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbf{R}_+^*\setminus\{1\}\) par : \[f(x)={x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\over x^2-1}.\]

1. Déterminer la valeur qu’il convient de donner à \(f(1)\) pour que \(f\) ainsi définie sur \(\mathbf{R}_+^*\) soit continue.

2. \(f\) est-elle alors dérivable en \(x_0=1\) ?

[concours/ex3611] mines M 1992 Construire la courbe \(y=\displaystyle{x^2-1\over x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x}\).

[fct.reelles/ex3981] Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0=0\) et de \(x_0=-1\), la tracer au voisinage de \(M_0\left(\vphantom{_|}x_0,f(x_0)\right)\) (on étudiera la possibilité de la prolonger par continuité, la dérivabilité, la position de la courbe par rapport à la tangente…) : \[f:x\longmapsto\left|1+{1\over x}\right|^x.\]

[fct.reelles/ex0317] On définit, pour \(x\neq0\), \[f(x)={1\over x}-{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{arcsin}}{\hbox{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}}\nolimits x}\,.\] Montrer que \(f\) se prolonge par continuité en \(0\) et faire une étude locale de la fonction prolongée en \(0\).

[fct.reelles/ex1055] Étude de \(f:x\mapsto|\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits x|^{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x}\).

[fct.reelles/ex1356] Soit \(f(x)=|\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits x|^{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x}\) ; étude locale au voisinage de \(x_0=\displaystyle{\pi\over2}\) et \(x_0=0\).

[fct.reelles/ex4686] Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[1,+\infty\right[\) par : \[f(x)=\cases{3& si $x=1$,\cr\displaystyle{(x+2)(x-1)\over x\,\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x}&si $x>1$.\cr}\] Montrer que \(f\) est continue et dérivable sur \(\left[1,+\infty\right[\).

[oraux/ex5335] mines MP 2012 Déterminer le développement limité en \(0\) à l’ordre \(2\) de \(f:x\mapsto \left(\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits(x+\displaystyle\frac\pi4)\right)^{-1/\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits(2x)}\). Donner l’allure de la courbe au voisinage de \(0\).

[fct.reelles/ex1326] Trouver le comportement de la courbe de \(f(x)\) au voisinage de \((1,f(1))\), où \(f(x)=x^3-3x^2+3x+2\).