Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex0526] centrale MP 2005 Soient \(S\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) symétrique de valeurs propres \(\lambda_1\leqslant\lambda_2\leqslant\ldots\leqslant\lambda_n\), \(g:[\lambda_1,\lambda_n]\rightarrow\mathbf{R}\) une application convexe et \(E=\{OSO^{-1},\ O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\).

1. Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in E\). Montrer que : \(\forall i\in\{1,\ldots,n\}\), \(\lambda_1\leqslant a_{i,i}\leqslant\lambda_n\). En déduire : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\left\{\sum\limits_{i=1}^ng(a_{i,i}),\ A\in E\right\}=\sum\limits_{k=1}^ng(\lambda_k)\).

2. Soit \(u\) un endomorphisme autoadjoint d’un espace vectoriel euclidien et \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) une application convexe. On note \(p_{\lambda,u}\) le projecteur orthogonal sur \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\), et on pose \(f(u)=\sum\limits_{\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(u)}f(\lambda)p_{\lambda,u}\). Montrer que pour tous \(u\), \(v\) autoadjoints et \(t\) dans \([0,1]\), on a \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(f((1-t)u+tv))\leqslant\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits((1-t)f(u)+tf(v))\).

[examen/ex3271] mines MP 2025 Soit \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe un unique couple \((O,S)\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\times\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\) tel que \(M=OS\).

2. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AM),\ A\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\).

[oraux/ex0431] ens paris, ens lyon, ens cachan 2004 Soit \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace hermitien et \(\mathscr{H}(E)\) l’espace réel des endomorphismes hermitiens de \(E\). Si \(u\in\mathscr{H}(E)\), on note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits u\) le spectre de \(u\) et, pour \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits u\), \(p_\lambda\) le projecteur orthogonal de \(E\) sur \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\). Si \(f\) est une application de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), on pose : \(f(u)=\sum\limits_{\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits u}f(\lambda)p_\lambda\).

Soit désormais \(f\) une application convexe de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Pour \(t\in[0,1]\) et \((u,v)\in\mathscr{H}(E)^2\), comparer : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}(1-t)f(u)+tf(v)\right)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}f((1-t)u+tv)\right)\).

[oraux/ex0817] centrale MP 2009 (avec Maple)

On dit qu’une matrice \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifie la propriété \(\mathscr{P}\) si et seulement si le polynôme caractéristique de \(M\) est égal à \(\mathop{\prod}\limits_{i=1}^n(X-m_{i,,i})\).

1. Trouver les matrices de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \(\mathscr{P}\).

2. Si \(M\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), comparer la somme des carrés des termes diagonaux de \(M\) et la somme des carrés des valeurs propres de \(M\) comptées avec multiplicités. En déduire les matrices symétriques réelles vérifiant \(\mathscr{P}\).

3. Trouver les matrices antisymétriques réelles vérifiant \(\mathscr{P}\).

[oraux/ex3513] ens cachan MP 2011

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_p(\mathbf{R})\). Montrer qu’on a, pour \(x\) réel au voisinage de 0 : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_p+xA))=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{(-1)^{n-1}\over n}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^n)x^n.\]

2. Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{S}_p(\mathbf{R})\). Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :

   1. \(AB=0\) ;

   2. \(\forall(x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_p+xA+yB)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_p+xA)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_p+yB)\).

   Le résultat est-il encore vrai si \(A\) et \(B\) ne sont plus symétriques réelles ?