Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex1224] ens PC 2024

1. Soit \(S\in \mathscr{S}_{n}(\mathbb{R)}\) inversible. Montrer que les assertions sont équivalentes :

   1. \(S\) admet \(k\) valeurs propres positives (comptées avec multiplicité),

   2. il existe des sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) de \(E\) tels que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits F=k\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits G=n-k\) et \(\forall X\in F\), \(X^{T}SX\geqslant 0\) et \(\forall Y\in G\), \(Y^{T}SY\leqslant 0\).

2. Soit \(S\in \mathscr{S}_{n}(\mathbb{R)}\) inversible. Soit \(P\in \mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_{n}(\mathbb{R)}\). Montrer que \(P^{T}SP\) et \(S\) ont le même nombre de valeurs propres positives.

[examen/ex0195] mines PC 2023 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice trigonalisable.

1. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale \(\Omega\) et une matrice triangulaire supérieure \(B\) telles que \(A=\Omega B\Omega^T\).

2. On suppose que \(AA^T=A^TA\). Montrer que \(A\) est diagonalisable.

3. La réciproque de la question précédente est-elle vraie ?

[oraux/ex8165] centrale MP 2015

1. Soit \(G\) un groupe fini et \(g\in G\). Montrer que \(x\mapsto xg\) est une bijection de \(G\) dans lui-même.

2. Soit \(U\) une partie de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) irréductible, c’est-à-dire telle que les seuls sous-espaces vectoriels de \(\mathbf{C}^n\) stables par tous les éléments de \(U\) soient \(\{0\}\) et \(\mathbf{C}^n\). Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que : \(\forall A\in U\), \(\exists B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(MA=BM\). Montrer que \(M\) est nulle ou inversible.

3. Soient \(G\) un groupe fini, \(\phi_1\) et \(\phi_2\) deux morphismes de groupes de \(G\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que \(\phi_1(G)\) et \(\phi_2(G)\) soient irréductibles. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Appliquer ce qui précède à \(P=\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\phi_2(g)^{-1}M\phi_1(g)\). Que dire de \(\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(\phi_2(g)^{-1})\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(\phi_1(g))\) ?

[oraux/ex7849] polytechnique MP 2013 Soit \(m\in\mathbf{N}\) avec \(m\geqslant 2\). On note \(\omega_1\), … , \(\omega_m\) les racines \(m\)-ièmes de l’unuté. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

1. Montrer que, pour tout \(z\in\mathbf{C}\) : \(\displaystyle{1\over m}\sum\limits_{j=1}^m\mathop{\prod}\limits_{k\neq j}(1-\omega_kz)=1\).

2. Montrer que \(\displaystyle{1\over m}\sum\limits_{j=1}^m\mathop{\prod}\limits_{k\neq j}(I_n-\omega_kA)=I_n\).

3. Soit \(X\in\mathbf{C}^n\) tel que \(X^*X=1\) où \(X^*={}^t\overline X\). Montrer l’existence de \(Z_1\), … , \(Z_m\) dans \(\mathbf{C}^n\) tels que \(1-X^*A^mX=\displaystyle{1\over m}\sum\limits_{j=1}^m(Z_j^*Z_j-\omega_jZ_j^*AZ_j)\).

4. En déduire que si \(A\) vérifie \(X^*X\leqslant 1\Longrightarrow|X^*AX|\leqslant 1\), alors les puissances de \(A\) aussi.

[oraux/ex0388] mines 2003 Soient \(H_n=\left\{\vphantom{|_|}A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ {}^tAA=nI_n\hbox{ et }\forall i,j,\ a_{i,j}\in\{-1,1\}\right\}\), \[\widetilde U=\left(\begin{array}{c}1\\\vdots\\1\end{array}\right)\quad\hbox{et} \quad\widetilde V=\sum\limits_{k=1}^nV_k,\] où les \(V_k\) sont les colonnes de \(A\).

1. On note \(\|\ \|\) la norme euclidienne canonique de \(\mathbf{R}^n\).

   Calculer \(\langle V_{k_1},V_{k_2}\rangle={}^tV_{k_1}V_{k_2}\), \(\|\widetilde V\|^2\) et \(\|\widetilde U\|^2\). En déduire l’existence de \(\xi\) tel que \(\|\widetilde V\|\times\|\widetilde U\|=n^\xi\).

2. Soit : \[\begin{array}{rcl}\phi:\mathscr{M}_n(\mathbf{R})&\longrightarrow\mathbf{R}\\ A&\longmapsto&\sum\limits_{i,j}a_{i,j}.\end{array}\] Montrer que \(|\phi(A)|\leqslant n^\xi\).

3. Montrer que, si \(n\) n’est pas un carré, que l’on n’a jamais égalité.

4. Dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\), trouver \(A\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=-4\) et \(\phi(A)=4^\xi\).

5. Montrer que pour tout \(A\) de \(h_n\) il existe \(\Delta\) et \(\Delta'\) diagonales à coefficients diagonaux dans \(\{-1,1\}\) telles que \(B=\Delta A\Delta'\) soit de la forme : \[\left(\begin{array}{cccc}1&1&\cdots&1\\ 1&*&\cdots&*\\\vdots&\vdots&&\vdots\\1&*&\cdots&*\end{array}\right).\]