Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex5025] polytechnique MP 2012

1. Soient \(A\) et \(B\) dans \(S_n^{++}(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(P\) inversible telle que \({}^tPAP\) et \({}^tPBP\) soient diagonales.

2. Le résultat est-il encore vrai si l’on suppose simplement \(A\) et \(B\) dans \(S_n^{+}(\mathbf{R})\) ?

[oraux/ex0471] polytechnique MP 2005 Soit \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). On suppose que \(\{X\in\mathbf{C}^n\mid X^*AX=X^*BX=0\}=\{0\}\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(P^*AP\) et \(P^*BP\) soient triangulaires supérieures.

[examen/ex3263] mines MP 2025 Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Déterminer le nombre de matrices \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A=B^2\).

[oraux/ex3507] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2011 Si \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on note \(\mu_M\) le polynôme minimal de \(M\).

1. Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). Exprimer \(\mu_{A^{-1}}\) en fonction de \(\mu_A\).

2. Soit \(A\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\). On suppose que 1 et \(-1\) ne sont pas racines de \(\mu_A\). Montrer que \(\mu_A\) est un polynôme réciproque de degré pair.

3. Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que : \(\mu_A=\mu_B\) et \(\mu_A\) est irréductible. Montrer que \(A\) et \(B\) sont orthogonalement semblables.

[oraux/ex0629] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2008 Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A\neq\pm2\).

1. Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{C})\) telle que \(P^{-1}AP\) soit diagonale.

   Soit \(B\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{C})\) telle que \(A\) et \(B\) n’ont pas de vecteurs propres communs.

2. Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{C})\) telle que \(P^{-1}AP\) et \(P^{-1}BP\) soient symétriques.

3. Soient \(a_1\), … , \(a_n\), \(b_1\), … , \(b_n\in\mathbf{Z}\) tels que \(A^{a_1}B^{b_1}\ldots A^{a_n}B^{b_n}=I_2\). Montrer que : \(A^{-a_1}B^{-b_1}\ldots A^{-a_n}B^{-b_n}=I_2\).