Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex6961] mines PC 2021 Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\). Déterminer les éléments propres de \(\pmatrix{a&b&c\cr b&a+c&b\cr c&b&a}\).

[concours/ex0990] ccp MP 1997 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\c&a+b&c\\b&c&a \end{array}\right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\). Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{Z}\).

[oraux/ex4815] hec courts S 2012 Soit \(a\), \(b\) et \(c\) des réels non nuls vérifiant \(a^2+b^2+c^2=1\). On pose \(U=\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)\).

1. 1. Calculer \(M=U{}^tU\).

   2. \(M\) est-elle diagonalisable ?

   3. \(M\) est-elle inversible ?

2. Calculer \(M^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

3. Donner les valeurs propres de \(M\) et les sous-espaces propres associés.

[examen/ex2619] imt PC 2024 Soient \(A=\pmatrix{a&b&c\cr c&a&b\cr b&c&a}\) et \(J=\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr1&0&0}\) avec \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\).

1. Exprimer \(A\) en fonction de \(I\), \(J\) et \(J^2\).

2. Déterminer le polynôme caractéristique de \(J\). La matrice \(J\) est-elle diagonalisable ?

3. Diagonaliser \(A\).

[oraux/ex7751] mines MP 2016 Pour quels nombres réels \(a\) la matrice \(\pmatrix{0&0&a\cr1&0&0\cr1&1&0}\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) ?