Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex1422] centrale MP 1998 Pour \(z\in\mathbf{C}\), on pose \(M(z)=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&z\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right)\).

1. Montrer que \(M\) admet une valeur propre \(\lambda\) telle que \(|\lambda|\geqslant 1\).

2. Montrer que \(M(z)\) est diagonalisable si et seulement si \(z\neq0\) et \(z\neq\displaystyle{27\over4}\).

3. Ensemble des \(z\) tels que \(M(z)\) admette une valeur propre de module \(1\).

[planches/ex8333] mines PC 2022 Soit \((a,\alpha)\in\mathbf{R}^2\). On pose \(M=\pmatrix{0&a&a^2\cr a^{-1}&0&a\cr a^{-2}&a^{-1}&0}\) et \(B_\alpha=\pmatrix{\alpha&a&a^2\cr a^{-1}&\alpha&a\cr a^{-2}&a^{-1}&\alpha}\).

1. Calculer \(M^2\). En déduire que \(M\) est inversible et calculer \(M^{-1}\).

2. Calculer \(M^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

3. Déterminer si \(M\) est diagonalisable, et calculer les éléments propres de \(M\).

4. Déterminer si \(B_\alpha\) est diagonalisable, et calculer les éléments propres de \(B_\alpha\).

[concours/ex5596] mines MP 2007 Soit \(a\in\mathbf{R}_+^*\). La matrice \(\pmatrix{0&a&a^2\cr1/a&0&a\cr1/a^2&1/a&0}\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex6722] escp B/L 2008 Soit \(a\) un réel non nul, et \(A\) la matrice définie par : \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&a&a^2\\ 1/a&0&a\\ {1}/{a^2}&1/a&0\end{array}\right)\)

1. Calculer \(A^2\).

2. Trouver un polynôme \(P\) unitaire et de degré \(2\) annulateur de \(A\), c’est-à-dire un polynôme \(P\) de la forme \(X^2+\alpha X +\beta\) tel que \(A^2+\alpha A+\beta I=0\), où \(I\) désigne la matrice identité de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\).

3. Montrer que la matrice \(A\) est inversible. Donner son inverse.

4. Déterminer une expression de \(A^n\) pour \(n\in\mathbb{N}\) en fonction de la matrice identité \(I\) et de la matrice \(A\).

5. 1. Quelles sont les valeurs propres possibles de \(A\) ?

   2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex4556] ccp PC 2011 Soient \(a\in\mathbf{R}^*\) et \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&1/a&1/a^2\\a&1&1/a\\a^2&a&1\end{array}\right)\). Déterminer le rang de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?