Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex3427] mines MP 2018 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}_+^*\setminus\{1\}\). Réduire la matrice : \[\pmatrix{0&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ba&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ca\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ab&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_cb\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ac&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_bc&0}.\]

[concours/ex5070] escp S 1999 On note \({\cal{M}}_3(\mathbf{R})\) l’espace vectoriel réel des matrices carrées d’ordre \(3\) à coefficients réels. On considère la matrice \(A\) définie par : \[A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & -1 \\1 & 0 & -1 \\1 & 1 & 0 \end{array}\right).\]

1. Déterminer la matrice \(B=A^2+2I\). La matrice \(B\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que \(B^2=B+2I\).

3. Déterminer les valeurs propres de \(B\). En déduire les sous-espaces propres associés.

4. Vérifier que si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\), alors \(\lambda^2+2\) est une valeur propre de \(B\). En déduire que \(A\) n’est pas diagonalisable dans \({\cal{M}}_3(\mathbf{R})\).

5. Montrer que \(B\) est inversible et exprimer \(B^{-1}\) en fonction des matrices \(B\) et \(I\).

6. On s’intéresse maintenant aux puissances de \(B\).

   1. On pose, pour tout \(n\geqslant 2\), \(X^n=(X^2-X-2)Q_n(X)+R_n(X)\) où \(Q_n\) et \(R_n\) sont deux polynômes tels que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits(R_n)<2\).

      On note \(R_n(X)=a_nX+b_n\). Déterminer le couple \((a_n,b_n)\).

   2. En déduire l’expression de \(B^n\) en fonction de \(I\), \(B\) et \(n\), pour \(n\geqslant 0\).

   3. Montrer que l’expression de \(B^n\) en fonction de \(I\), de \(B\) et de \(n\), qui a été obtenue pour \(n\geqslant 0\), est encore valable pour les entiers négatifs.

[oraux/ex7783] mines PC 2016 Soit \(M(\alpha)=\pmatrix{0&0&\alpha\cr1&0&1\cr0&1&0}\) pour \(\alpha\in\mathbf{C}\). Déterminer les valeurs de \(\alpha\) pour lesquelles \(M(\alpha)\) possède une valeur propre de module 1.

[concours/ex9087] hec courts S 2010

1. La matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ?

2. soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3 et \(u\) un endomorphisme de \(E\) tel que \(u^2\) soit un projecteur de rang égal à 1.

   1. Montrer que 0 est valeur propre de \(u\) et que \(u\) possède au plus une autre valeur propre, égale à \(+1\) ou à \(-1\).

   2. Montrer que, si \(u\) admet 1 pour valeur propre et n’est pas lui-même un projecteur, il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) est \(A\).

[examen/ex4032] imt MP 2025 Soient \(a>0\) et \(A=\pmatrix{0&-a&a^2\cr1&0&-a\cr1&1&0}\) et \(u=\pmatrix{a\cr0\cr1}\).

1. Calculer \(Au\). Que peut-on en déduire ?

2. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)\). La matrice \(A\) est-elle inversible ?

3. Déterminer le spectre réel de \(A\).

4. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que \(A\) soit diagonalisable.