[examen/ex2182] mines PC 2024 Soit \(Z\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{Z}\) telle que \(|Z|+1\sim\mathscr{G}(p)\) et telle que \(\forall n\in\mathbf{Z}\), \(\mathbf{P}(Z=n)=\mathbf{P}(Z=-n)\). Soit \(A=\pmatrix{0&Z&Z\cr Z&0&1\cr 1&1&0}\).
[examen/ex2182]
Déterminer la loi du rang de \(A\).
Déterminer la probabilité pour que \(A\) soit diagonalisable.
[examen/ex2428] imt MP 2024 On pose \(A=\pmatrix{1&0&a\cr0&2&0\cr0&0&a}\), où \(a\in\mathbf{R}\). La matrice \(A\) est-elle inversible ? diagonalisable ?
[examen/ex2428]
[oraux/ex8653] ccp PC 2016 On pose \(A=\pmatrix{2&1&-4\cr0&1&-2\cr1&1&-3}\), \(B=\pmatrix{1&1&-2\cr2&2&-4\cr1&1&-2}\).
[oraux/ex8653]
Calculer \(A^2\), \(A^3\). En déduire une expression de \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).
Calculer les valeurs propres de \(A\). Est-elle diagonalisable ?
Montrer que les vecteurs propres de \(A\) sont aussi des vecteurs propres de \(B\). La matrice \(B\) est-elle diagonalisable ?
Soient \((x,y)\in\mathbf{R}^2\) et \(M(x,y)=xA+yB\). Montrer que \(M(x,y)\) est diagonalisable et donner l’expression de \((M(x,y))^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).
[planches/ex2528] centrale PSI 2017 Soient \(A\in\mathscr{M}_{2,3}(\mathbf{R})\) et \(B\in\mathscr{M}_{3,2}(\mathbf{R})\) deux matrices telles que \(AB=\pmatrix{1&0&x\cr0&1&0\cr1&0&1}\).
[planches/ex2528]
La matrice \(AB\) est-elle inversible ? Quelles sont les valeurs de \(x\) possibles ?
La matrice \(BA\) est-elle diagonalisable ?
Montrer que \(\mathbf{R}^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits A\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits B\).
Montrer qu’il existe une infinité de couples de matrices \((A,B)\) vérifiant l’hypothèse donnée dans cet exercice.
[concours/ex4436] escp S 2006 On note \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre \(3\) à coefficients réels. On note \({\cal F}\) l’ensemble des éléments \(M\) de \(E\) tels que si \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 3}\), alors \(m_{1,2}=m_{1,3}=m_{2,1}=0\).
[concours/ex4436]
Montrer que \({\cal F}\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) et donner sa dimension.
Soit \(A\in E\) de rang égal à \(1\). On note \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(A\).
On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\cap \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u=\{0\}\). Montrer que \(A\) est semblable à un élément de \({\cal F}\).
On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\cap \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u\neq \{0\}\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u \subset \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\). En déduire que \(A\) est encore semblable à un élément de \({\cal F}\).
On suppose que \(A\in E\) est de rang \(2\). On note \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(A\).
On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\cap \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u\neq \{0\}\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u \subset \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u\). Soit alors \(x\) un vecteur non nul de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\) et \(y\) tel que \(x=u(y)\). En utilisant ces deux vecteurs, montrer que \(A\) est encore semblable à un élément de \({\cal F}\).
Soit \(A\in E\) admettant une valeur propre réelle. Montrer que \(A\) est semblable à un élément de \({\cal F}\).
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