Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex3540] mines PSI 2025 Soit \(A=\pmatrix{0&z&z\cr1&0&z\cr1&1&0}\) avec \(z\in\mathbf{C}\).

1. Si \(z=1\), justifier que \(A\) est diagonalisable.

2. Pour quels \(z\in\mathbf{C}\), la matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex7582] mines PC 2014 Soit \(z\in\mathbf{C}\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(z\) pour que la matrice \(\pmatrix{0&z&z\cr1&0&z\cr1&1&0}\) soit diagonalisable.

[concours/ex7438] polytechnique 2003

1. Que dire des valeurs propres de la matrice \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) ?

2. On appelle \(a\) la valeur propre réelle de \(M\), \(b\) et \(c\) ses deux valeurs propres complexes conjuguées. Calculer \(U_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M^n)\).

3. Soit \(k\) un réel. Comparer les séries de termes généraux \(V_n\) et \(W_n\) définies par : \(nV_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(kU_n)\) et \(nW_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(ka^n)\).

4. Montrer que \(U_n\) vérifie une relation de récurrence linéaire à coefficients constants.

5. Étudier la nature des séries de termes généraux \(V_n\) et \(W_n\) lorsque \(k=\pi\), \(k=\pi/2\) et \(k=\pi/4\).

[planches/ex2661] imt MP 2017 Conditions sur \((a,b,c,d)\) pour que la matrice \(\pmatrix{1&a&b\cr0&2&c\cr0&0&d}\) soit diagonalisable ?

[planches/ex5585] saint-cyr PSI 2019 Montrer que la matrice \(A=\pmatrix{a&0&b\cr0&a+b&0\cr b&0&a}\) est diagonalisable et trouver ses éléments propres.