Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7583] mines PC 2014 Pour quels \(\phi\in\mathbf{R}\) la matrice suivante est-elle diagonalisable ? \[\pmatrix{0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\phi)&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\phi\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\phi&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\phi)\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\phi&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\phi)&0}.\]

[planches/ex5688] imt PC 2019 Soient \(\varphi\in\mathbf{R}\) et \(A=\pmatrix{0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\varphi&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\varphi&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi&0}\).

Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(\varphi\) pour que \(A\) soit diagonalisable.

[planches/ex2877] hec courts S 2018 On considère la matrice de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) : \[M=\pmatrix{e^{2i\pi/3}&e^{4i\pi/3}&1\cr e^{4i\pi/3}&1&e^{2i\pi/3}\cr1&e^{2i\pi/3}&e^{4i\pi/3}}.\]

1. Calculer la trace et le rang de \(M\).

2. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?

3. Justifier que \(M\) est semblable à la matrice \(M'=\pmatrix{e^{4i\pi/3}&e^{2i\pi/3}&1\cr e^{2i\pi/3}&1&e^{4i\pi/3}\cr1&e^{4i\pi/3}&e^{2i\pi/3}}\).

[planches/ex2798] tpe PC 2017 Soit \(M=\pmatrix{j&j^2&1\cr j^2&1&j\cr1&j&j^2}\). Calculer le rang de \(M\). Préciser son spectre. Est-elle trigonalisable ? diagonalisable ?

[examen/ex3540] mines PSI 2025 Soit \(A=\pmatrix{0&z&z\cr1&0&z\cr1&1&0}\) avec \(z\in\mathbf{C}\).

1. Si \(z=1\), justifier que \(A\) est diagonalisable.

2. Pour quels \(z\in\mathbf{C}\), la matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?