Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex0919] centrale MP 1997 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&5&4\\0&0&5\end{array}\right)\). Déterminer les plans stables de \(A\). Résoudre \(X^2=A\).

[concours/ex8772] polytechnique MP 2009 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A^3+A^2=2I_n\).

[oraux/ex0034] ccp PSI 2010 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5\end{array}\right)\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. Si \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) vérifie \(B^2=A\), montrer que \(B\) et \(A\) commutent. Déterminer l’ensemble \(\{B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C}),\ B^2=A\}\).

[concours/ex8552] ccp PC 2005 Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^3-2M^2+M=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).

[planches/ex6070] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2021 Soit \(p\) un nombre premier.

1. Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_p(\mathbf{C})\) telle que \(A^p=I_p\).

2. Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_p(\mathbf{Q})\) telle que \(A^p=I_p\).