Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex1803] mines MP 1999 Soit \(A\) la matrice réelle : \[\left(\begin{array}{ccc} 2&2&4\\2&-4&-2\\1&1&2\end{array}\right).\] Déterminer l’ensemble des matrices réelles qui commutent avec \(A\), puis résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\), pour \(n\in\mathbf{N}^*\), l’équation \(X^n=A\).

[concours/ex8647] polytechnique, espci PC 2008 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) : \(X^n=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right)\).

[concours/ex0166] mines MP 1996 Soit \[A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&-1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right)\,.\] Résoudre l’équation à l’inconnue \(X\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) : \[5X^2+3X=A\,.\]

[examen/ex1069] ens saclay, ens rennes MP 2024 Montrer que toute matrice de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) admet une racine carrée.

[planches/ex8723] centrale PC 2022 Soit \(\theta\in\left]0,\pi\right[\).

1. Montrer que toute solution de \(A^2-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\theta)A+I_2=0\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) est semblable à \(R=\pmatrix{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta&-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\).

2. Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\theta)A+I_n=0\). Montrer que \(n\) est pair et que \(A\) est semblable à une matrice diagonale par blocs dont tous les blocs diagonaux sont égaux à \(R\).