Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7731] polytechnique MP 2016 Soient \((m,n)\in(\mathbf{N}^*)^2\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(B\in\mathscr{M}_m(\mathbf{C})\), \(C\in\mathscr{M}_{n,m}(\mathbf{C})\). Montrer que l’équation \(AX-XB=C\) d’inconnue \(X\in\mathscr{M}_{n,m}(\mathbf{C})\) possède une et une seule solution si et seulement si \(A\) et \(B\) n’ont pas de valeur propre commune.

[examen/ex0745] imt PSI 2023 Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(B)=\varnothing\).

1. Montrer que \(\chi_A(B)\) est inversible.

   On suppose désormais qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(AM=MB\).

2. Montrer que, pour tout \(k\in\mathbf{N}\), \(A^kM=MB^k\).

3. Montrer que, pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\), \(P(A)M=MP(B)\).

4. Montrer que \(M\) est la matrice nulle.

5. Dans le cas général, que peut-on dire si l’on a \(M\) non nulle telle que \(AM=MB\) ?

[examen/ex0611] imt MP 2023 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \((E)\) l’équation \(AM=MB\).

1. On suppose que \((E)\) admet une solution \(M\neq0\).

   Montrer que \(\forall P\in\mathbf{C}[X]\), \(P(A)M=MP(B)\). Montrer que \(A\) et \(B\) admettent une valeur propre commune.

2. Établir la réciproque.

[concours/ex1055] polytechnique MP 1998 Soient \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})^2\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) définie par \(M\mapsto AM-MB\).

1. Soient \(a\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits A\) et \(b\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits B\). Montrer que \(a-b\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits f\).

2. Soient \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits f\) et \(N\in E_\lambda(f)\). Montrer que, pour tout \(Q\in\mathbf{C}[X]\), on a \(Q(A)N=NQ(B+\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_n)\).

   En déduire qu’il existe \(a\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits A\) et \(b\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits B\) tels que \(\lambda=a-b\).

3. Condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(M\neq0\) telle que \(AM=MB\) ?

[concours/ex5920] centrale MP 2007 Soient \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \(f:X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\rightarrow AX-XB\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

1. Soit \(\lambda\) (resp. \(\mu\)) une valeur propre de \(A\) (resp. \(B\)). Montrer que \(\lambda-\mu\) est valeur propre de \(f\).

2. Réciproquement, soit \(\alpha\) une valeur propre de \(f\). Montrer qu’il existe une valeur propre \(\lambda\) de \(A\) et une valeur propre \(\mu\) de \(B\) telles que \(\alpha=\lambda-\mu\).

3. Donner une condition nécessaire et suffisante simple portant sur \(A\) et \(B\) pour qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\setminus\{0\}\) telle que \(AM-MB=0\).

[concours/ex5923] centrale MP 2007 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})^2\). On considère l’équation \((E)\) : \(AX=XB\), où l’inconnue \(X\) est dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

1. On suppose que \((E)\) possède une solution non nulle \(Y\).

   1. Montrer, pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\), que \(P(A)Y=YP(B)\).

   2. Montrer que \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune.

2. On suppose que \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune.

   1. Montrer : \(\forall(M,N)\in(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\setminus\{0\})^2\), \(\exists Q\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(MQN\neq0\).

   2. Montrer que \((E)\) admet une solution non nulle.

[concours/ex9590] mines PSI 2006 Soient \(A\), \(B\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AM=MB\), avec \(M\neq0\).

1. Montrer que pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\) on a \(P(A)M=MP(B)\).

2. Montrer que \(A\) et \(B\) ont une valeur propre en commun.

[concours/ex9646] polytechnique, ens cachan PSI 2008 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisables et \(\Phi_{A,B}\) l’endomorphisme de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) tel que : \(\forall M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), \(\Phi_{A,B}(M)=AM+MB\).

1. Déterminer la matrice de \(\Phi_{A,B}\) dans la base \((E_{1,1},\ldots,E_{1,n},E_{2,1},\ldots,E_{2,n},\ldots,E_{n,n})\).

2. Montrer que si \(A\) est semblable à \(C\) alors \(\Phi_{C,B}\) est semblable à \(\Phi_{A,B}\).

3. Exprimer les valeurs propres de \(\Phi_{A,B}\) en fonction de celles de \(A\) et \(B\).

4. Montrer l’équivalence entre :

   1. \(\exists M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\setminus\{0\}\), \(AM=MB\) ;

   2. \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune.

[planches/ex7328] ccinp PSI 2021

1. Énoncer le théorème de Cayley-Hamilton.

2. Soient \(A\), \(B\), \(C\), dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). On suppose que \(AC=CB\) et que \(C\neq0\). Montrer que, pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\), \(P(A)C=CP(B)\).

3. Montrer qu’un produit de matrices est inversible si et seulement si tous ses facteurs le sont. En déduire que \(A\) et \(B\) ont au moins une valeur propre commune.

4. Réciproquement, si \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune, montrer qu’il existe une matrice \(C\) non nulle telle que \(AC=CB\).

[oraux/ex4672] hec S 2011

1. Question de cours : Rappeler la définition du rang d’une matrice. Une matrice carrée et sa transposée ont-elles nécessairement le même rang ?

2. Dans cette question, \(A\) et \(B\) sont deux matrices carrées de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) (\(n\geqslant 1\)) qui ont au moins une valeur propre commune.

   1. Démontrer qu’il existe un nombre réel \(\alpha\) et deux matrices colonnes \(X\), \(Y\) non nulles telles que \({}^tAX=\alpha X\) et \(BY=\alpha Y\).

   2. En déduire qu’il existe une matrice carrée non nulle \(M\) telle que : \(MA=BM\).

   3. Montrer que les deux matrices \(A=\left(\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{cc}3&1\\0&1\end{array}\right)\) ont une valeur propre commune et trouver une matrice non nulle \(M\) telle que : \(MA=BM\).

3. Dans cette question, \(a\) est un endomorphisme de \(\mathbf{C}^n\).

   1. Soit \(Q\in\mathbf{C}[X]\). Montrer que, si \(z\) est un nombre complexe qui n’est pas une valeur propre de \(a\) et si le polynôme \(P=(X-z)Q\) est un polynôme annulateur de \(a\), \(Q\) est alors aussi un polynôme annulateur de \(a\).

   2. Démontrer qu’il existe un polynôme annulateur de \(a\) sont les seules racines sont les valeurs propres de \(a\).

4. Dans cette question, on examine la réciproque de la propriété prouvée en \(2^o\) et on considère donc deux matrices carrées \(A\) et \(B\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) pour lesquelles il existe une matrice non nulle \(M\) telle que : \(MA=BM\).

   1. Que peut-on dire des valeurs propres de \(A\) et de \(B\) lorsque \(M\) est inversible ?

   2. Démontrer que, pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbf{C}[X]\), on a : \(MP(A)=P(B)M\).

   3. Démontrer, à l’aide de \(3^o\), que \(A\) et \(B\) ont nécessairement une valeur propre commune.

[oraux/ex4477] PSI 2011 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) non nulle telle que \(AU=UB\).

[oraux/ex7824] centrale PSI 2016 On considère les matrices \(A=\pmatrix{1&2&3\cr2&1&3\cr4&2&0}\) et \(B=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&1\cr0&1&-1}\).

1. Étudier la diagonalisabilité de \(A\) et \(B\).

2. Soit \(C=\{M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R}),\ AM=MB\}\). Soit \(f\) la fonction qui prend en argument une liste de 9 éléments et dont le code est :

   def f(x):
       X=np.array(x)
       X=X.reshape((3,3))
       Y=A.dot(X)-X.dot(B)
       return(Y.reshape(9))

   Décrire ce que fait la fonction \(f\). En déduire que l’ensemble \(C\) est une droite vectorielle engendrée par une matrice de la forme \(U{}^tV\) où \(U\), \(V\in\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{R})\).

3. On se place maintenant dans le cas \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On suppose \(M\in C\). Montrer que \(\forall k\in\mathbf{N}\), \(A^kM=MB^k\). Déterminer \(\chi_B(A)M\).

4. On suppose dans cette question que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(B)=\varnothing\) (il s’agit ici de spectre complexe). Déterminer \(C\).

[oraux/ex7675] mines PC 2015 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisable telle que : \(\forall(\lambda,\mu)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)^2\), \(\lambda+\mu\neq0\). Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(AM+MA=0\). Montrer que \(M=0\).

[oraux/ex7646] polytechnique MP 2015 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Pour \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(M)\) l’ensemble des valeurs propres complexes de \(M\). Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \(\forall\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(\lambda)<0\) et \(\forall\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(B)\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(\lambda)\leqslant 0\). Soit \(C\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer que l’équation \(C=XA+AX\) possède une et une seule solution.

[oraux/ex7808] centrale MP 2016 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \[u:\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\rightarrow\mathscr{M}_n(\mathbf{C}),\qquad X\mapsto AX-XB.\]

1. Montrer que \(u\) est un endomorphisme de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

2. Soient \(\alpha\) une valeur propre de \(A\) et \(\beta\) une valeur propre de \(B\). Montrer que \(\alpha-\beta\) est une valeur propre de \(u\).

3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\setminus\{0\}\) telle que \(AX=XB\).

[oraux/ex8619] ccp PSI 2016

1. Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) ayant au moins une valeur propre commune.

   1. Montrer qu’il existe \(\alpha\in\mathbf{C}\) et \(X\), \(Y\in\mathbf{C}^n\) non nuls, tels que \({}^tAX=\alpha X\) et \(BY=\alpha Y\). En déduire qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) non nulle telle que \(MA=BM\).

   2. Trouver \(M\) pour \(A=\pmatrix{1&2\cr2&1}\) et \(B=\pmatrix{3&1\cr0&1}\).

2. On s’intéresse maintenant à la réciproque. Soient \(A\), \(B\), \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(MA=BM\).

   1. Montrer que si \(M\) est inversible alors \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune.

   2. Montrer que pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\), on a \(MP(A)=P(B)M\).

   3. On suppose \(M\neq0\). Montrer que \(A\) et \(B\) ont au moins une valeur propre commune.

[oraux/ex7559] polytechnique, espci PC 2014 Soient \(E\) un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel de dimension finie, \(f\) et \(g\) dans \(\mathscr{L}(E)\). On suppose que \(f\) et \(g\) ont une valeur propre commune. Montrer qu’il existe \(\phi\in\mathscr{L}(E)\) de rang 1 tel que \(\phi\mathbin{\circ} f=g\mathbin{\circ}\phi\).

[concours/ex0895] centrale MP 1997 Soit \(A\) une matrice carrée réelle. On pose, pour toute matrice carrée réelle \(X\) de même taille : \[\Phi(X)=X+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(X)A\,.\] Déterminer les éléments propres de \(\Phi\). Résoudre l’équation \(\Phi(X)=B\).

[planches/ex5698] ccinp PC 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non nulle et \(\varphi:X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\longmapsto X+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(X)A\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\varphi\subset\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(A)\) puis que \(\varphi\) est bijective si et seulement si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)\neq-1\).

2. Déterminer les valeurs propres de \(\varphi\).

[concours/ex9611] centrale PSI 2006 Soient \(E=\mathscr{M}_{2p}(\mathbf{R})\) et \(B=(B_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 2p}\) où \(B_{i,j}=1\) si \(i=j\) ou si \(i+j=2p+1\), et 0 sinon. Soit \(\psi\) définie sur \(E\) par : \(\forall A\in E\), \(\psi(A)=A+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)B\).

1. Montrer que \(\psi\in\mathscr{L}(E)\). Trouver \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\psi\).

2. Soit \(M\in E\). Résoudre \(\psi(X)=M\), d’inconnue \(X\in E\).

3. Trouver les vecteurs propres et valeurs propres de \(\psi\).