Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex4987] mines MP 2019 Soit \(q\) une fonction continue et intégrable de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\), \((E)\) l’équation différentielle \(y''+qy=0\).

1. Montrer que, si \(y\) est une solution bornée de \((E)\), alors \(y'(t)\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{t\rightarrow+\infty}}0\).

2. Montrer que \((E)\) admet des solutions non bornées.

[oraux/ex3132] ens lyon MP 2011 Soit \(p\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) intégrable. Montrer que l’équation \(y''(x)+p(x)y(x)=0\) admet des solutions non bornées.

[oraux/ex2800] centrale 2003 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) une application continue et intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Soit \((E)\) l’équation différentielle \(y''+qy=0\).

1. Si \(y\) est une solution bornée de \((E)\), que dire de \(y'\) en \(+\infty\) ?

2. Montrer qu’il existe des solutions de \((E)\) non bornées.

[concours/ex4169] mines M 1990 Soit \(f\in\mathscr{C}(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\left|f\right|\) converge. L’équation \(y''+fy=0\) a-t-elle toutes ses solutions bornées ?

[planches/ex1073] tpe PSI 2015 Soit l’équation différentielle \[(E)\quad y''+f(x)y=0,\] où \(f\) est continue et intégrable sur \(\mathbf{R}\).

1. Montrer que si \(y_1\) et \(y_2\) sont solutions de \((E)\) alors \(y_1'y_2-y_2'y_1\) est constante.

2. Montrer que si \(y\) est une solution de \(E\) bornée sur \(\mathbf{R}\) alors \(y'(x)\) admet une limite finie quand \(x\) tend vers \(+\infty\), puis montrer que cette limite est nulle.

3. Montrer que \((E)\) admet une solution non bornée.