Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex2957] ccp M 1994 Construire la courbe d’équation polaire : \(\rho=\displaystyle{4\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2\theta\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\).

[concours/ex5770] mines MP 2007 Tracer la courbe d’équation polaire \(\rho=\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits(\theta/2)\).

[oraux/ex1572] centrale MP 2006 Étudier et tracer la courbe d’équation polaire \(\rho=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2\theta)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\theta)}\). Calculer l’aire entre la courbe et l’asymptote.

[concours/ex4180] mines M 1990 Construire la courbe d’équation polaire : \(\rho=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta\over2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta-1}\).

[oraux/ex1638] centrale PC 2008 (avec Maple)

Soit \(\mathscr{C}\) le support de \(t\mapsto\left(\sqrt{1+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2t)}+\sqrt{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2t)}\right)e^{it}\).

1. Tracer \(\mathscr{C}\). Quelles sont les symétries ?

2. Montrer que \(\mathscr{C}\) est la réunion de quatre graphes : \(\mathscr{C}_1\), \(\mathscr{C}_2\), \(\mathscr{C}_3\), \(\mathscr{C}_4\) qui se déduisent par une rotation à déterminer.

3. Le graphe \(\mathscr{C}_1\) est défini pour \(t\in[-\pi/4,\pi/4]\). Montrer que \(\mathscr{C}_1\) est un demi-cercle dont on déterminera le centre.

4. Calculer les coefficients de Fourier \(c_n(f)\) de \(f\) pour \(n\in\{-5,\ldots,5\}\).