Édition de feuilles d'exercices

[geo.diff/ex0029] Construire la courbe \(\rho=a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\displaystyle{2\theta\over5}\), où \(a>0\).

[geo.diff/ex0214] L’expression analytique d’une orbitale atomique de niveau \(d\) en coordonnées sphériques s’écrit : \[\Psi(\rho,\theta,\varphi)= \left({4\over81\sqrt{30}}a_0^{-7/2}\rho^2e^{-\rho/3a_0}\right) \left({1\over4}\sqrt{5\over\pi}(3\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2\theta-1)\right).\] On étudie la partie angulaire de la fonction \(\Psi\) c’est-à-dire le second terme du produit que l’on note \(Y\).

1. Représenter la courbe (dans le plan \(xOz\)) définie par l’équation polaire \(\rho=Y(\theta)\), où \(\theta\) est l’angle entre \(Oz\) et le rayon vecteur.

2. En remarquant que \(Y\) ne dépend pas de \(\varphi\), que peut-on en déduire pour la surface obtenue en portant dans la direction donnée \((\theta,\varphi)\) un vecteur proportionnel au carré de la partie angulaire de la fonction d’onde \(\Psi\) ? Tracer l’allure de l’intersection de cette surface avec le plan \(xOz\).

3. Imaginer alors la surface définie en coordonnées sphériques par l’équation \(\rho=Y^2(\theta)\).

[geo.diff/ex0246] Étudier et tracer la courbe \(\mathscr{C}\) d’équation polaire : \[\rho={\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits4\theta\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}.\]

[oraux/ex1513] mines PC 2005 Étude de la courbe d’équation polaire : \(\rho=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}\).

[geo.diff/ex0141]

1. Tracer \[(C)\ :\ \rho=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3\theta-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3\theta.\]

2. Déterminer les points de \((C)\) en lesquels la tangente est de pente \(1\).