Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1870] centrale PC 2009 (avec Maple)

Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(\displaystyle{-6\over5}x^2+2xy+{6\over5}xz+{3\over2}y^2-yz+{7\over10}z^2=0\).

1. Déterminer la nature de \(\mathscr{S}\). Donner un repère dans lequel \(\mathscr{S}\) est sous forme réduite. Représenter \(\mathscr{S}\).

2. Soit \(\mathscr{S}'\) la quadrique d’équation réduite dans le repère orthonormé direct \((O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)\) : \(x^2+2y^2-z^2=0\). Soient \(\Pi\) un plan de \(\mathbf{R}^3\) de vecteur normal unitaire \(\vec n\). À quelle condition l’intersection \(\Pi\cap\mathscr{S}'\) est-elle un cercle ? Déterminer les centres de ces cercles.

[oraux/ex1804] mines MP 2006 Reconnaître la surface d’équation \(z=x^2-y^2\).

[concours/ex2053] centrale MP 1999 Quelles sont les droites contenues dans la surface d’équation \[2xy+4yz+6zx=b\] où \(b\in\mathbf{R}\) ?

[fct.R2/ex0646] Par chaque point sur la surface \(z=ax^2+by^2\) qui se trouve à une distance \(h\) au-dessus du plan \(Oxy\), on mène la normale à la surface. Calculer l’équation de la courbe formée par les intersections de ces normales avec le plan \(Oxy\).

[concours/ex2549] centrale M 1995 Nature de la surface \(\Sigma\) d’équation \(2xy-xz+2yz=0\). Déterminer son intersection avec le plan \(x+y+z=0\). La surface \(\Sigma\) contient-elle des cercles ?

[fct.R2/ex0992] Représenter et reconnaître la surface d’équation : \[x^2-4y^2-4z^2=36.\]

[oraux/ex1863] centrale MP 2009

1. Montrer qu’un ellipsoïde, un paraboloïde elliptique et un hyperboloïde à deux nappes ne sont pas des surfaces réglées.

2. Soit \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) un paraboloïde hyperbolique d’équation cartésienne réduite \(\displaystyle{z^2\over a^2}-{y^2\over b^2}=2z\) avec \(a>0\) et \(b>0\).

   1. Montrer que, par tout point \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) passent deux droites incluses dans \(\mathscr{P}\mathscr{H}\).

   2. Proposer un paramétrage de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) de la forme \((u,t)\mapsto M(u,t)\) où \(M(u,0)=(au,0,u^2/2)\) et tel que, pour tout \(u\), \(t\mapsto M(u,t)\) paramètre une droite.

   3. Proposer un paramétrage \((\lambda,\mu)\mapsto P(u,t)\) de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\)tel que, pour tout \(\lambda\), \(\mu\mapsto P(\lambda,\mu)\) paramètre une droite, et pour tout \(\mu\), \(\lambda\mapsto P(\lambda,\mu)\) paramètre une droite.

[planches/ex8820] centrale PC 2022 On fixe un réel \(a>0\) et on considère \(E=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ 4x^2+2y^2+z^2=16a^2\}\).

1. Montrer que l’ensemble \(\Gamma\) des points de \(E\) en lesquels le plan tangent passe par le point \(A=(0,4a,4a)\) est une courbe plane.

2. On note \(L\) l’intersection de \(E\) avec le plan d’équation \(z=2a\sqrt2\). Montrer qu’une représentation paramétrique de \(L\) est \(t\longmapsto(a\sqrt2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t,2a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t,2a\sqrt2)\).

3. Donner une représentation paramétrique de la réunion \(S\) des normales à \(E\) rencontrant \(L\). Préciser l’intersection de \(S\) avec le plan d’équation \(z=0\).

[oraux/ex1850] centrale MP 2008 Préciser la nature des surfaces de \(\mathbf{R}^3\) d’équations \(\Sigma_1\) : \(6x^2-y^2+11z^2=1\) et \(\Sigma_2\) : \(x^2-yz=1\). Déterminer l’ensemble des droites à la fois tangentes à \(\Sigma_1\) et à \(\Sigma_2\).

[fct.R2/ex0637] Calculer l’équation du plan tangent à \(z=xy\) en \(\left(2,\displaystyle{1\over2},1\right)\).

[fct.R2/ex0647] Calculer les équations de la normale à la surface \(x^2+4y^2=z^2\) en \((3,2,5)\).

[planches/ex4106] navale PSI 2018 Soit \(S\) la surface d’équation \(x^2-y^2-z=1\), \(P\) le plan d’équation \(x+2y-z=0\). Donner l’ensemble des points \(M\) de \(S\) tels que le plan tangent à \(S\) en \(M\) soit parallèle à \(P\).

[oraux/ex1758] centrale 2003 Soit \(U\in\mathbf{R}^n\), \(\alpha\) réel. On pose, pour \(X\in\mathbf{R}^n\) : \[Q(X)={}^tXX+\alpha({}^tUX)^2.\]

1. \(Q\) est-elle une forme quadratique ? Si oui, donner sa signature.

2. Réduire et dessiner la quadrique d’équation \(Q(X)=1\) pour \(n=3\) et \(U=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\).

[planches/ex4731] polytechnique MP 2019 Décrire et représenter \(\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ x^2+y^2+z^2-2xz=1,\ x+z=0\}\).

[fct.R2/ex0999] Représenter l’ensemble des points de l’espace dont les coordonnées vérifient : \[x^2+y^2<z<x+y.\]

[oraux/ex5694] centrale PSI 2012 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure affine euclidienne canonique. Soient \(\mathcal{P}=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\;2x+3y-z=0\}\) et \(\mathcal{C}=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\;x^2+y^2=z^2\}\). Reconnaître \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{C}\). Montrer que leur intersection est constituée de deux droites ; déterminer l’angle entre ces droites.

[concours/ex2626] tpe, int, ivp M 1995 Montrer que la surface d’équation : \[(x-y)(x-z)+(y-z)(y-x)+(z-x)(z-y)+x-y=0\] est de révolution. Axe, nature de cette surface.

[fct.R2/ex0638] Calculer l’équation du plan tangent à \(2x^2-y^2\) en \((1,1,1)\).

[concours/ex0566] tpe, int, ivp MP 1996 Trouver la surface engendrée par les droites rencontrant les trois droites \[\left\{\begin{array}{rcl}x&=&1\\y&=&0\end{array}\right.\,,\quad \left\{\begin{array}{rcl}x&=&0\\z&=&0\end{array}\right.\,,\quad \left\{\begin{array}{rcl}x&=&-1\\y&=&z\end{array}\right.\,.\]

[oraux/ex1895] centrale PC 2010 (avec Maple)

Soit \((S)\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over9}+y^2-{z^2\over4}=1\).

1. Nature de \((S)\) ? Donner un paramétrage de \((S)\). Tracer \((S)\) à l’aide de Maple.

2. Déterminer l’intersection de \((S)\) avec le plan d’équation \(z=\alpha\).

3. Calculer le volume du solide défini par : \(\left\{\displaystyle{x^2\over9}+y^2-{z^2\over4}\leqslant 1,\ a\leqslant z\leqslant b\right\}\).

4. La surface \((S)\) admet-elle des points singuliers ?

5. Donner l’équation du plan tangent à \((S)\) au point \(M(t)=(3\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t,0)\).

[oraux/ex1692] centrale PC 2009 Soit \(\mathscr{C}\) la courbe définie par : \(x(t)=a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3t\), \(y(t)=a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3t\), \(z(t)=a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2t)\). On note \(\mathscr{S}\) la surface de révolution autour de \((Oz)\) générée par \(\mathscr{C}\).

1. Donner une équation d’une méridienne de \(\mathscr{S}\).

2. Montrer que \(\mathscr{S}\) est contenue dans une quadrique que l’on précisera.

[oraux/ex9507] centrale PSI 2014 (avec Maple)

Soit \((S)\) la surface d’équation : \[x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+3x-y+2z=0.\]

1. Trouver l’équation réduite de \((S)\) dans un repère orthonormé que l’on précisera.

2. Soit \(\vec u=(1,1,1)\). Déterminer \(\Gamma_{\vec u}\) la courbe constituée des points \(M\) de \((S)\) tels que la droite \((M,\vec u)\) soit tangente à \((S)\) en \(M\).

3. Tracer \((S)\) et \(\Gamma_{\vec u}\) sur la même figure.

[concours/ex2554] centrale M 1995 On considère la surface \(\Sigma_a\) d’équation \(z=x^2+ay^2\).

1. Donner une équation du plan tangent \(P\) en \(O\) à \(\Sigma_a\) et donner, selon \(a\), la forme de \(P\cap\Sigma_a\).

2. Soit \(P'\) un plan passant par \(O\) et perpendiculaire à \(P\). Discuter la nature de \(P'\cap\Sigma_a\). Donner, lorsqu’il est défini, son rayon de courbure en \(O\).

[concours/ex4312] centrale M 1990 Soit \(S\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over a^2}-{y^2\over a^2}-{z^2\over a^2}=1\) ; l’identifier. Trouver \(\Sigma\), ensemble des projections orthogonales de \(O\) sur les plans tangents à \(S\). Volume intérieur à \(\Sigma\).

[fct.R2/ex0468] Décrire le graphe de la fonction \(f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\), où \(a>0\).

[oraux/ex4414] centrale PC 2011 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure euclidienne canonique orientée. Soit \(\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\) la base canonique. Soit \(\Sigma\) la surface d’équation \(x^2-2yz+4z^2=1\) dans la base canonique.

1. Montrer qu’il existe une base orthonormée directe \(e=(\varepsilon_1,e_2,e_3)\) dans laquelle l’équation de \(\Sigma\) est \(X^2+\alpha Y^2+\beta Z^2=1\).

2. Déterminer l’angle de la rotation \(r\) d’axe dirigé par \(\varepsilon_1\) telle que \(r(\varepsilon_2)=e_2\) et \(r(\varepsilon_3)=e_3\).

3. Déterminer l’intersection de \(\Sigma\) et du plan d’équation \(x=0\). Quelle est la nature de cette courbe ? son excentricité ?

[oraux/ex1730] mines PC 2010 On se place dans \(\mathbf{R}^3\) muni de sa structure euclidienne canonique. Soit \(a>0\). Déterminer l’ensemble des courbes de classe \(\mathscr{C}^1\) régulières tracées dans \(x^2+y^2=a\) et telles qu’en tout point la tangente à la courbe soit tangente à la surface d’équation \(x^2+y^2+z^2=2a^2\).

[fct.R2/ex0653] Montrer que les surfaces \(x^2+y^2+z^2-8x-8y-6z+24=0\) et \(x^2+3y^2+2z^2=9\) sont tangentes en \((2,1,1)\).

[concours/ex4048] polytechnique pox P 1990 Nature de la surface d’équation : \[2x^2+5y^2-2z^2-8yz-6y+2z=0.\]

[concours/ex0476] centrale MP 1996 Soit \(H\) un hyperboloïde à deux nappes, \(A\) l’un de ses sommets, \(\Delta\) une droite tangente en \(A\) à \(H\) et \(P\) un plan contenant \(\Delta\). Nature de l’intersection \(\Gamma_P\) du plan et de l’hyperboloïde ? Lieu du centre de courbure de \(\Gamma_P\) lorsque \(P\) varie ?

[concours/ex3816] centrale M 1992 Déterminer le tétraèdre de volume maximal inscrit dans une sphère de rayon \(R\), calculer son volume en fonction de \(R\). Reprendre l’exercice en remplaçant la sphère par un ellipsoïde.

[concours/ex6143] centrale PC 2007 Soient \(a\in\mathbf{R}_+^*\) et \(\mathscr{C}\) la courbe intersection des surfaces \(x^2+y^2+z^2=a^2\) et \(x^2+y^2=ax\).

1. Déterminer les points réguliers de \(\mathscr{C}\).

2. Soit \(P\) le point d’intersection de la tangente à \(\mathscr{C}\) en un point \(M\) avec le plan \(z=0\). Déterminer le lieu des points \(P\) lorsque \(M\) parcourt \(\mathscr{C}\).

[concours/ex3255] mines M 1993 Déterminer le lieu des sommets des cônes circonscrits à : \[x^2+4y^2=z\] qui rencontrent le plan \(xOy\) selon un cercle.

[fct.R2/ex0649] Calculer les équations de la tangente à la courbe intersection des surfaces \(x^2+2y^2+2z^2=5\) et de \(3x-2y-z=0\) en \((1,1,1)\).

[oraux/ex1892] centrale PC 2010 (avec Maple)

Soient \(f:(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\mapsto2x^2+y^2+2z^2+2xy+2yz+2xz\) et \(g:(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\setminus\{(0,0,0)\}\mapsto\displaystyle{f(x,y,z)\over x^2+y^2+z^2}\).

1. Représenter la surface d’équation \(f(x,y,z)=1\). Déterminer son type.

2. Montrer que \(g\) admet un minimum et un maximum. Déterminer les points en lesquels ils sont atteints et les valeurs de ces extrema.

3. Soit \(u\in\mathscr{S}(\mathbf{R}^3)\) de valeurs propres \((\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\). Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(\lambda_1\|x\|^2\leqslant\langle u(x),x\rangle\leqslant\lambda_3\|x\|^2\). Interpréter le résultat de la question précédente.

[oraux/ex4136] mines PC 2011 Soient \(\mathscr{S}\) la surface de \(\mathbf{R}^3\) d’équation \(z^3=xy\) et \(\mathscr{D}\) la droite \((x=2,\ y=3(z+1))\). Déterminer les points réguliers de \(\mathscr{S}\) en lesquels le plan tangent à \(\mathscr{S}\) contient \(\mathscr{D}\).

[concours/ex2556] centrale M 1995 Soit \(S\) la surface d’équation \(z=\sqrt{x^2+y^2+a}\). Reconnaître \(S\). Discuter l’existence sur \(S\) de courbes bi-régulières dont la normale principale reste tangente à \(S\).

[fct.R2/ex0990] Représenter et reconnaître la surface d’équation : \[x^2+z^2=y^2.\]

[fct.R2/ex0465] Montrer que l’intersection des deux surfaces : \[x^2+3y^2-z^2+3x=0\qquad\hbox{et}\qquad2x^2+6y^2-2z^2-4y=3\] est une courbe plane.

[oraux/ex9465] centrale PC 2013 Nature (sommet et directrice si c’est un cône) de la surface d’équation \(x(a-z)+y(a-x)+z(a-y)=a\) avec \(a\in\mathbf{R}\) ?

[planches/ex4730] polytechnique MP 2019 Décrire et représenter \(\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ x^2+y^2-2xz=0\}\).

[oraux/ex5778] centrale PC 2012 Dans \(\mathbf{R}^3\), soient \((S)\) d’équation \(x^2+y^2+z^2=1\), \((\Sigma)\) d’équation \(x^2+y^2-2x=0\), et \(({\cal C})\) l’intersection de \((S)\) et de \((\Sigma)\).

1. Préciser la nature de \((S)\) et de \((\Sigma)\).

2. Montrer que tout point de \(({\cal C})\) est régulier.

3. Déterminer les projections orthogonales de \(({\cal C})\) sur les plans \((x=0)\), \((y=0)\) et \((z=0)\).