Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex9428] polytechnique MP 2013

1. Parmi les triangles à côtés entiers ayant un angle de \(2\pi/3\), déterminer ceux de périmètre minimal.

2. Préciser la nature de la surface de \(\mathbf{R}^3\) d’équation \(z^2-x^2-y^2-xy=0\). Déterminer les symétries orthogonales de \(\mathbf{R}^3\) la préservant.

3. On considère un triangle \(ABC\) ayant un angle de \(2\pi/3\) au point \(A\). On note \(a=BC\), \(b=AC\) et \(c=AB\). Montrer que tout triangle de côtés respectifs \(b\), \(a\) et \(b+c\) possède un angle de \(\pi/3\). Donner un procédé géométrique permettant d’obtenir un tel triangle à partir de \(ABC\). Faire de même pour construire un triangle de côtés respectifs \(c\), \(a\) et \(b+c\).

[oraux/ex1834] polytechnique MP 2008 On considère le cône \(C\) d’équation \(ax^2+2bxy+2cxz+dy^2+2eyz+fz^2=0\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe trois génératrices de \(C\) deux à deux orthogonales.

[fct.R2/ex0458] Montrer que le plan \(2x-y-2z=10\) coupe le paraboloïde \(2z=\displaystyle{x^2\over9}+{y^2\over4}\) en un seul point, et trouver les coordonnées de ce point.

[oraux/ex1882] centrale MP 2010 Trouver un plan passant par l’origine dont l’intersection avec l’ellipsoïde d’équation \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}=1\) (où \(a>b>c\)) soit un cercle.

[concours/ex4192] mines M 1990 Une surface \(\Sigma\) a pour équation, dans un repère orthonormé, \[2py^2+hx(z-h)=0.\] Reconnaître \(\Sigma\), trouver l’équation cartésienne de la surface engendrée par les perpendiculaires communes à \((0x)\) et à une droite variable tracée sur \(\Sigma\).

[oraux/ex1893] centrale PC 2010 Soient \(a>0\), \(s(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-a^2\), \(p(x,y,z)=(x+y+z)^2-a^2\), \((S)\) la surface d’équation \(s=0\), \((P)\) la surface d’équation \(p=0\) et \((\Sigma_u)\) la surface d’équation \(\alpha s+p=0\).

1. Déterminer \(S\cap P\).

2. Déterminer les \(\alpha\in\mathbf{R}\) tels que \(O\in\Sigma_u\). Quelle est la nature de ces surfaces ?

[oraux/ex9438] mines MP 2013 Étudier la surface d’équation \[5x^2+13y^2+10z^2-6xy-12xz-4yz-14=0.\]

[oraux/ex5694] centrale PSI 2012 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure affine euclidienne canonique. Soient \(\mathcal{P}=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\;2x+3y-z=0\}\) et \(\mathcal{C}=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\;x^2+y^2=z^2\}\). Reconnaître \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{C}\). Montrer que leur intersection est constituée de deux droites ; déterminer l’angle entre ces droites.

[concours/ex2554] centrale M 1995 On considère la surface \(\Sigma_a\) d’équation \(z=x^2+ay^2\).

1. Donner une équation du plan tangent \(P\) en \(O\) à \(\Sigma_a\) et donner, selon \(a\), la forme de \(P\cap\Sigma_a\).

2. Soit \(P'\) un plan passant par \(O\) et perpendiculaire à \(P\). Discuter la nature de \(P'\cap\Sigma_a\). Donner, lorsqu’il est défini, son rayon de courbure en \(O\).

[concours/ex3255] mines M 1993 Déterminer le lieu des sommets des cônes circonscrits à : \[x^2+4y^2=z\] qui rencontrent le plan \(xOy\) selon un cercle.

[fct.R2/ex0637] Calculer l’équation du plan tangent à \(z=xy\) en \(\left(2,\displaystyle{1\over2},1\right)\).

[oraux/ex5780] centrale PC 2012 Pour \(b\in \mathbf{R}\), on considère \((S) : 2x^2+y^2-4xy-4yz=b\). Déterminer la nature de \((S)\) en fonction de \(b\). Déterminer la nature de l’intersection de \((S)\) avec le plan \(z=0\).

[planches/ex1800] polytechnique MP 2017 Dans \(\mathbf{R}^3\), représenter la surface \(\mathscr{S}\) d’équation \(x^2+y^2-z^2=1\). Décrire l’intersection de cette surface avec le plan d’équation \(z=C\).

[planches/ex4106] navale PSI 2018 Soit \(S\) la surface d’équation \(x^2-y^2-z=1\), \(P\) le plan d’équation \(x+2y-z=0\). Donner l’ensemble des points \(M\) de \(S\) tels que le plan tangent à \(S\) en \(M\) soit parallèle à \(P\).

[oraux/ex9511] centrale PC 2014 (avec Maple)

Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \(A=\pmatrix{a&c&b\cr c&b&a\cr b&a&c}\).

1. Montrer que \(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\geqslant 0\). À quelle condition a-t-on égalité ?

2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? Que dire de ses valeurs propres ?

3. Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \(\mathscr{Q}\) d’équation \[a(x^2+2yz)+b(y^2+2xz)+c(z^2+2xy)=0.\]

   1. Tracer \(\mathscr{Q}\) pour \((a,b,c)=(1,2,-2/3)\), puis pour \((a,b,c)=(-1,-2,2/3)\).

   2. Caractériser cette surface.

   3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(\mathscr{Q}\) soit une surface de révolution.

[oraux/ex9476] ccp PSI 2013 Dans \(\mathbf{R}^3\) euclidien standard, déterminer les points équidistants des droites \(3x+2z-1=y=0\) et \(x=z=0\).

[oraux/ex1867] centrale PSI 2009 Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b,c,d)\in\mathbf{R}^4\) pour que le plan d’équation \(ax+by+cz+d=0\) soit tangent à la surface d’équation : \(\displaystyle{x^2\over\alpha^2}+{y^2\over\beta^2}+{z^2\over\gamma^2}=1\).

[oraux/ex1807] mines MP 2006 Reconnaître et réduire la quadrique d’équation : \[2x^2+2y^2+z^2+2xz-2yz+4x-2y-z+3=0.\]

[concours/ex2053] centrale MP 1999 Quelles sont les droites contenues dans la surface d’équation \[2xy+4yz+6zx=b\] où \(b\in\mathbf{R}\) ?

[oraux/ex1848] centrale MP 2008 Soit, dans \(\mathbf{R}^3\), \(H_1\) d’équation \(x^2-yz=1\) et \(H_2\) d’équation \(6x^2-y^2+11z^2=1\). Déterminer les droites tracées sur \(H_1\) et tangentes à \(H_2\).

[oraux/ex4134] mines PC 2011 Nature de la surface d’équation : \(x-3y^2+7z^2=0\) ?

[oraux/ex1885] centrale PSI 2010 Soient \(\mathscr{Q}\) la surface d’équation \(x^2+2y^2+z^2+4x-2z=0\) et \(A(2,0,1)\).

1. Déterminer la nature de \(\mathscr{Q}\).

2. Montrer qu’une droite \(\mathscr{D}\) est tangente à \(\mathscr{Q}\) si et seulement si \(\mathscr{Q}\cap\mathscr{D}\) est un singleton.

3. Déterminer le lieu des tangentes à \(\mathscr{Q}\) passant par \(A\).

[planches/ex3294] polytechnique MP 2018 Représenter dans \(\mathbf{R}^3\) les surfaces d’équations \(x^2+y^2-z^2=1\) et \(x^2+y^2-z^2=0\).

[fct.R2/ex1160] Cercles de \(\Sigma\) : \(x^2+2y^2+3z^2=1\).

[fct.R2/ex0651] Donner l’équation du plan normal à la courbe intersection des surfaces \(9x^2+4y^2-36z=0\) et \(3x+y+z-z^2-1=0\) au point \((2,-3,2)\).

[concours/ex0480] centrale MP 1996 Soit \(\Sigma\) la surface d’équation \(x^2-y^2-z^2=a^2\) dans \(\mathbf{R}^3\) euclidien. Déterminer l’ensemble des projetés orthogonaux de \(O\) sur les plans tangents à \(\Sigma\).

[concours/ex6206] ccp PSI 2007 Nature de la quadrique : \(-y^2+3z^2-6\sqrt2z+2x-4=0\) ?

[concours/ex4309] centrale M 1990 Soit \(\Sigma\) : \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}-pz=0\). On coupe par un plan variable contenant \((Ox)\). Déterminer la nature de l’intersection et l’ensemble des centres de courbure en \(O\) de ces intersections.

[concours/ex3816] centrale M 1992 Déterminer le tétraèdre de volume maximal inscrit dans une sphère de rayon \(R\), calculer son volume en fonction de \(R\). Reprendre l’exercice en remplaçant la sphère par un ellipsoïde.

[oraux/ex1803] tpe PC 2005 Trouver le lieu \((S)\) des points équidistants de l’axe \(Oz\) et de la droite d’équation \(\left\{\begin{array}{l}x+y-1=0\\z=0.\end{array}\right.\) Trouver les droites incluses dans \((S)\).

[oraux/ex1860] mines PC 2009 Nature de la surface d’équation : \(5x^2-7y^2-2z^2=1\).

[oraux/ex1878] polytechnique MP 2010 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure euclidienne canonique. Soit \(\mathscr{E}\) un ellipsoïde centré sur \(O\). Soient \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) trois points de \(\mathscr{E}\) tels que \(\mathchoice{\overrightarrow{OA_1}}{\overrightarrow{OA_1}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA_1}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA_1}}\), \(\mathchoice{\overrightarrow{OA_2}}{\overrightarrow{OA_2}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA_2}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA_2}}\), \(\mathchoice{\overrightarrow{OA_3}}{\overrightarrow{OA_3}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA_3}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA_3}}\) soient orthogonaux deux à deux. Montrer que \(\displaystyle{1\over OA_1^2}+{1\over OA_2^2}+{1\over OA_3^2}\) ne dépend que de \(\mathscr{E}\).

[fct.R2/ex0990] Représenter et reconnaître la surface d’équation : \[x^2+z^2=y^2.\]

[fct.R2/ex0452] Décrire et tracer le graphe de \(\displaystyle{x^2\over a^2}-{y^2\over b^2}-{z^2\over c^2}=1\), où \(a\), \(b\), \(c>0\).

[concours/ex0310] mines MP 1996 Soit la surface \(\Sigma:x^2+y^2=z^2\). Quelles sont les courbes \(\Gamma\) tracées sur \(\Sigma\) telles que le segment de tangente compris entre le point courant et le plan \(xOy\) est de longueur constante ?

[oraux/ex4228] centrale MP 2011

1. Soient \(a\), \(b\), \(c\) des réels tels que \(b\leqslant c\). Montrer que \(a\) est dans \([b,c]\) si et seulement s’il existe \(y\) et \(z\) dans \(\mathbf{R}\) tels que : \(y^2+z^2=1\), \(by^2+cz^2=a\).

2. Soient \(a\), \(b\), \(c\) des réels tels que \(b\leqslant a\leqslant c\). Montrer qu’existent \(\alpha\) dans \(\mathbf{R}\) et \(P\) dans \(\mathscr{O}_3(\mathbf{R})\) tels que : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(a,b,c)={}^tP\left(\begin{array}{ccc}a&0&0\\0&a&\alpha\\ 0&\alpha&b+c-a\end{array}\right)P\).

3. Soient \(\mathscr{E}\) un ellipsoïde de \(\mathbf{R}^3\) centré en l’origine. Montrer qu’existe un plan \(P\) passant par l’origine tel que \(P\cap\mathscr{E}\) soit un cercle. Montre que les plans parallèles à \(P\) qui coupent \(\mathscr{E}\) le coupent selon un cercle. Déterminer les plans coupant \(\mathscr{E}\) selon un cercle.

[concours/ex2054] centrale MP 1999 Soit \(\Sigma=\left\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\mid x^2+y^2-z^2-2bxy=0\right\}\) où \(b\in\mathbf{R}\).

1. Quelle est la nature de \(\Sigma\) ?

2. Trouver les plans coupant \(\Sigma\) suivant deux droites orthogonales.

[fct.R2/ex0636] Calculer l’équation du plan tangent à \(z=x^2+y^2\) en \((1,2,5)\).

[oraux/ex1863] centrale MP 2009

1. Montrer qu’un ellipsoïde, un paraboloïde elliptique et un hyperboloïde à deux nappes ne sont pas des surfaces réglées.

2. Soit \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) un paraboloïde hyperbolique d’équation cartésienne réduite \(\displaystyle{z^2\over a^2}-{y^2\over b^2}=2z\) avec \(a>0\) et \(b>0\).

   1. Montrer que, par tout point \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) passent deux droites incluses dans \(\mathscr{P}\mathscr{H}\).

   2. Proposer un paramétrage de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) de la forme \((u,t)\mapsto M(u,t)\) où \(M(u,0)=(au,0,u^2/2)\) et tel que, pour tout \(u\), \(t\mapsto M(u,t)\) paramètre une droite.

   3. Proposer un paramétrage \((\lambda,\mu)\mapsto P(u,t)\) de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\)tel que, pour tout \(\lambda\), \(\mu\mapsto P(\lambda,\mu)\) paramètre une droite, et pour tout \(\mu\), \(\lambda\mapsto P(\lambda,\mu)\) paramètre une droite.

[oraux/ex4410] centrale PC 2011 Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(3(x^2+y^2)=z^2\).

1. Caractériser \(\mathscr{S}\).

2. Soit \(\mathscr{C}\) l’intersection de \(\mathscr{S}\) et du plan d’équation \(z=\sqrt3\). Déterminer \(\mathscr{C}\). À l’aide de \(\mathscr{C}\) donner une paramétrisation de \(\mathscr{S}\).

3. Déterminer l’angle que font les génératrices avec \(\mathscr{C}\).

4. Soient \(\Gamma:t\mapsto(f(t),g(t),h(t))\) une courbe de classe \(\mathscr{C}^1\). Déterminer l’équation du plan tangent à \(\mathscr{S}\) en \(\Gamma(t_0)\).

[oraux/ex3951] mines MP 2011 Soient \(S\) la surface d’équation \(xy=z^2\) de \(\mathbf{R}^3\), \(D\) la droite d’équations \(x=2\), \(y=3z-3\). Déterminer les points réguliers de \(S\) en lesquels le plan tangent à \(S\) contient \(D\).

[oraux/ex1809] mines MP 2006 Équation réduite et nature de la surface d’équation : \[2x^2+2y^2+z^2+2xy-2xz-yz+4x-2y-z+3=0.\]

[oraux/ex4412] centrale PC 2011 Soit \((S)\) la surface paramétrée par \(\Phi:(\theta,\varphi)\mapsto(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\varphi,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\varphi,\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\).

1. Reconnaître \((S)\). Représenter les vecteurs \(\displaystyle{\partial\Phi\over\partial\theta}\) et \(\displaystyle{\partial\Phi\over\partial\theta}\).

2. Caractériser les \(\gamma\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{R}^3)\) telles que \(\gamma(\mathbf{R})\subset(S)\) et telles que l’angle entre \(\gamma'(t)\) et \(\displaystyle{\partial\Phi\over\partial\theta}(\gamma(t))\) soit constant égal à \(\beta\).

[fct.R2/ex0991] Représenter et reconnaître la surface d’équation : \[x^2+y^2+z^2=16.\]

[fct.R2/ex0456] Décrire et tracer le graphe de \(z=y^2-x^2\).

[fct.R2/ex0647] Calculer les équations de la normale à la surface \(x^2+4y^2=z^2\) en \((3,2,5)\).

[fct.R2/ex0640] Calculer l’équation du plan tangent à la sphère \(x^2+y^2+z^2=1\) au point \(\left(\displaystyle{1\over2},{1\over2},{1\over\sqrt2}\right)\).

[concours/ex2922] centrale M 1994 Soit \(S\) la surface \(\{x^2-y^2-z^2=a^2\}\) (\(a>0\)). Soit \(\Sigma\) l’ensemble des projetés de \(O\) sur les plans tangents à \(S\).

1. Reconnaître \(S\).

2. Étudier \(\Sigma\). Tracer sa méridienne.

3. Calculer le volume intérieur à \(\Sigma\).

[oraux/ex1765] centrale 2004 Soit des réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(0<c<b<a\). Pour tout \(\lambda\) réel autre que \(-a\), \(-b\), \(-c\), on note \(Q_\lambda\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over\lambda+a}+{y^2\over\lambda+b}+{z^2\over\lambda+c}=0\).

1. Étudier, selon \(\lambda\), la nature de \(Q_\lambda\).

2. Soit \(M\in\mathbf{R}^3\) un point dont aucune coordonnée n’est nulle. Montrer qu’il existe exactement trois réels \(\lambda\) tels que \(M\in Q_\lambda\).

3. Montrer que les plans tangents en \(M\) aux trois surfaces \(Q_\lambda\) passant par \(M\) sont deux à deux perpendiculaires.

[oraux/ex1890] centrale PC 2010 Soit \(\Gamma\) la courbe de \(\mathbf{R}^3\) intersection de \(x^2+y^2+z^2=4\) et de \(x^2+y^2-2x=0\).

1. Déterminer un vecteur tangent en chaque point de \(\Gamma\).

2. Déterminer une équation cartésienne du projeté orthogonal de \(\Gamma\) sur \((yOz)\).