Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4399] centrale PC 2011 Soient, pour \(a\in\mathbf{R}\), \(S_a=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^2,\ xy+xz+yz=a\}\) et, pour \(\lambda\in\mathbf{R}\), \(\Pi_\lambda=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ x+y+z=\lambda\}\).

1. Déterminer \(\Pi_\lambda\cap S_a\). Déterminer la distance de \(O\) à \(\Pi_\lambda\).

2. Montrer que \(S_a\) est une surface de révolution d’axe à préciser. Donner son équation dans une base orthonormée bien choisie.

3. Montrer que \(S_0\) est réunion de droites.

4. Si \(a\neq0\), montrer que \(S_a\) se déduit de \(S_{-1}\) ou de \(S_{-1}\) par une homothétie.

[oraux/ex3843] mines MP 2011 Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((\alpha,\beta)\in\mathbf{R}^2\) pour que l’ensemble : \[\left\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ \alpha\left(\vphantom{|_|}\smash{(1+x)^2+(1+y)^2+(1+z)^2} \right)+2\beta(xy+yz+zx)=0\right\}\] soit un compact non vide.

[oraux/ex5695] centrale PSI 2012 Nature de \(K=\left\{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\; xy +yz+xz+a(x^2+y^2+z^2)=b\right\}\) suivant \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) ? Pour quelles valeurs l’ensemble \(K\) est-il compact ?

[oraux/ex1812] mines PC 2006 Soient \(a\) et \(b\) dans \(\mathbf{R}\). Nature de la surface d’équation \[x^2+xy-xz-yz+ax+bz=0\ ?\]

[fct.R2/ex0940] Représenter et reconnaître la surface d’équation cartésienne : \[{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}-{z^2\over c^2}=1.\] Quelles sont les traces de cette surface sur les plans de coordonnées ?