Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex9465] centrale PC 2013 Nature (sommet et directrice si c’est un cône) de la surface d’équation \(x(a-z)+y(a-x)+z(a-y)=a\) avec \(a\in\mathbf{R}\) ?

[oraux/ex9457] centrale PSI 2013 Soient \(D_1\) la droite qui passe par le point \(A_1=(1,-2,1)\) et a pour vecteur directeur \(u_1=(1,-2,1)\) et \[D_2=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ x+z+1=x+2y-7=0\}.\]

1. Trouver un vecteur directeur \(u_2\) de \(D_2\) et trouver un point qui appartient à \(D_2\) (on appellera ce point \(A_2\).

2. Paramétrer \(D_1\) et \(D_2\) et les représenter avec Maple.

3. On note \(d(A,D)\) la distance d’un point \(A\) à une droite \(D\). Trouver une équation cartésienne de \(H=\{M=(x,y,z),\ d(M,D_1)=d(M,D_2)\}\). Quele est la nature de la quadrique \(\mathscr{H}\) ?

4. Tracer \(H\) avec Maple (avec \(D_1\) et \(D_2\) si possible).

5. Soient \(M(s)=A_1+su_1\) et \(N(r)=A_2+ru_2\) deux points courant respectivement sur \(D_1\) et \(D_2\). Montrer que la fonction \(f:(s,r)\mapsto N(r)M(s)^2\) admet un minimum et trouver ce minimum. Interprétation géométrique ?

[fct.R2/ex0637] Calculer l’équation du plan tangent à \(z=xy\) en \(\left(2,\displaystyle{1\over2},1\right)\).

[planches/ex9542] polytechnique PSI 2023 Soient \(a\), \(b\), \(c\) trois réels strictement positifs.

On pose \(E=\displaystyle\left\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ \left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2+\left(\frac{z}{c}\right)^2=1\right\}\).

On suppose que \(A\), \(B\), \(C\) sont trois points distincts de \(E\) tels que le plan tangent à \(E\) en \(A\) est parallèle à \((BC)\), le plan tangent à \(E\) en \(B\) est parallèle à \((CA)\), le plan tangent à \(E\) en \(C\) est parallèle à \((AB)\).

Calculer le volume du parallélépipède engendré par les vecteurs \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\).

[fct.R2/ex0458] Montrer que le plan \(2x-y-2z=10\) coupe le paraboloïde \(2z=\displaystyle{x^2\over9}+{y^2\over4}\) en un seul point, et trouver les coordonnées de ce point.