Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4409] centrale PC 2011 (avec Maple)

Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(x^2+y^2+4z^2=1\).

1. Préciser la nature de \(\mathscr{S}\). En donner un paramétrage. Représenter \(\mathscr{S}\).

2. Déterminer un vecteur normal à \(\mathscr{S}\) en \(M(x,y,z)\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(\vec u(1,2,1)\) soit tangent à \(\mathscr{S}\) en \(M\). On note \(\Gamma\) l’ensemble des points \(M\) en lesquels \(\vec u\) est tangent à \(\mathscr{S}\).

3. Soit \(P\) le plan d’équation \(x+2y+4z=0\). Déterminer une base orthonormée directe de \(\mathbf{R}^3\) dont les deux premiers vecteurs appartiennent à \(P\). Donner l’équation de \(\Gamma\) dans cette base.

[oraux/ex1873] centrale PC 2009 Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation : \(x^2+y^2+4z^2=1\).

1. Reconnaître \(\mathscr{S}\). La tracer puis en donner un paramétrage.

2. Soit \(u=(1,1,1)\). Existe-t-il un vecteur normal à la surface et orthogonal à \(u\) ?

3. Soit \(\mathscr{P}\) le plan d’équation \(x+2y+4z=0\). Donner une base orthonormale adaptée à \(\mathscr{P}\).

4. Donner une équation de \(\mathscr{S}\) dans la base obtenue à la question précédente.

[oraux/ex4224] centrale MP 2011 (avec Maple)

Déterminer une équation cartésienne de l’ensemble des points \(M\) équidistants du plan d’équation \(x+y+z=0\) et de la droite d’équations \(x=z\), \(y=0\). Quelle est la nature de cet ensemble ? Le représenter.

[oraux/ex1820] ccp PSI 2006 Soit \((S)\) la surface d’équation \(x^2+y^2-z^2=1\). Montrer qu’aucune droite parallèle au plan \((xOy)\) n’est contenue dans \((S)\). Soit \(D\) la droite définie par \(x=az+b\) et \(y=cz+d\). Montrer que \(D\) est incluse dans \((S)\) si et seulement si la matrice \(\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\) est orthogonale.

[concours/ex2547] centrale M 1995 Soient \(D\) une droite, \(P\) un plan et \(k>0\). Ensemble des points \(M\) de l’espace tels que \(d(M,D)=k\,d(M,P)\).