Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex9466] centrale PC 2013 (avec Maple)

Soient \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \[xy+yz+zx-(x+y+z)+1=0,\] \(\mathscr{D}_1\) la droite d’équation \(y=0\), \(z=1\), \(\mathscr{D}_2\) la droite d’équation \(x=0\), \(y=1\) et \(\mathscr{D}_3\) la droite d’équation \(z=0\), \(x=1\).

1. Représenter \(\mathscr{S}\), \(\mathscr{D}_1\), \(\mathscr{D}_2\), \(\mathscr{D}_3\). Que remarque-t-on ? Montrer le résultat.

2. Montrer qu’il existe une base orthonormée dans laquelle l’équation de \(\mathscr{S}\) est : \[{X^2\over a^2}-{Y^2\over b^2}-{Z^2\over c^2}=-1.\] Préciser \((a,b,c)\).

3. Montrer qu’il existe une infinité de droites incluses dans \(\mathscr{S}\).

[fct.R2/ex0652] Montrer que les surfaces \(x^2+y^2+z^2=18\) et \(xy=9\) sont tangentes en \((3,3,0)\).

[planches/ex8820] centrale PC 2022 On fixe un réel \(a>0\) et on considère \(E=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ 4x^2+2y^2+z^2=16a^2\}\).

1. Montrer que l’ensemble \(\Gamma\) des points de \(E\) en lesquels le plan tangent passe par le point \(A=(0,4a,4a)\) est une courbe plane.

2. On note \(L\) l’intersection de \(E\) avec le plan d’équation \(z=2a\sqrt2\). Montrer qu’une représentation paramétrique de \(L\) est \(t\longmapsto(a\sqrt2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t,2a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t,2a\sqrt2)\).

3. Donner une représentation paramétrique de la réunion \(S\) des normales à \(E\) rencontrant \(L\). Préciser l’intersection de \(S\) avec le plan d’équation \(z=0\).

[oraux/ex1892] centrale PC 2010 (avec Maple)

Soient \(f:(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\mapsto2x^2+y^2+2z^2+2xy+2yz+2xz\) et \(g:(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\setminus\{(0,0,0)\}\mapsto\displaystyle{f(x,y,z)\over x^2+y^2+z^2}\).

1. Représenter la surface d’équation \(f(x,y,z)=1\). Déterminer son type.

2. Montrer que \(g\) admet un minimum et un maximum. Déterminer les points en lesquels ils sont atteints et les valeurs de ces extrema.

3. Soit \(u\in\mathscr{S}(\mathbf{R}^3)\) de valeurs propres \((\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\). Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(\lambda_1\|x\|^2\leqslant\langle u(x),x\rangle\leqslant\lambda_3\|x\|^2\). Interpréter le résultat de la question précédente.

[concours/ex1191] polytechnique PC 1998 Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}=1\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont trois réels non nuls. Trouver l’ensemble des points \(P\) par lesquels passent trois plans tangents à \(\mathscr{S}\) et perpendiculaires deux à deux.