Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex0999] Représenter l’ensemble des points de l’espace dont les coordonnées vérifient : \[x^2+y^2<z<x+y.\]

[fct.R2/ex0461] Identifier la surface d’équation \(25x^2-y^2-z^2=25\).

[oraux/ex4412] centrale PC 2011 Soit \((S)\) la surface paramétrée par \(\Phi:(\theta,\varphi)\mapsto(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\varphi,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\varphi,\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\).

1. Reconnaître \((S)\). Représenter les vecteurs \(\displaystyle{\partial\Phi\over\partial\theta}\) et \(\displaystyle{\partial\Phi\over\partial\theta}\).

2. Caractériser les \(\gamma\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{R}^3)\) telles que \(\gamma(\mathbf{R})\subset(S)\) et telles que l’angle entre \(\gamma'(t)\) et \(\displaystyle{\partial\Phi\over\partial\theta}(\gamma(t))\) soit constant égal à \(\beta\).

[oraux/ex1872] centrale PC 2009 Nature de la quadrique d’équation \(x^2-xy-y^2+z^2-3x-1=0\).

[concours/ex6143] centrale PC 2007 Soient \(a\in\mathbf{R}_+^*\) et \(\mathscr{C}\) la courbe intersection des surfaces \(x^2+y^2+z^2=a^2\) et \(x^2+y^2=ax\).

1. Déterminer les points réguliers de \(\mathscr{C}\).

2. Soit \(P\) le point d’intersection de la tangente à \(\mathscr{C}\) en un point \(M\) avec le plan \(z=0\). Déterminer le lieu des points \(P\) lorsque \(M\) parcourt \(\mathscr{C}\).