Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex5780] centrale PC 2012 Pour \(b\in \mathbf{R}\), on considère \((S) : 2x^2+y^2-4xy-4yz=b\). Déterminer la nature de \((S)\) en fonction de \(b\). Déterminer la nature de l’intersection de \((S)\) avec le plan \(z=0\).

[oraux/ex1895] centrale PC 2010 (avec Maple)

Soit \((S)\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over9}+y^2-{z^2\over4}=1\).

1. Nature de \((S)\) ? Donner un paramétrage de \((S)\). Tracer \((S)\) à l’aide de Maple.

2. Déterminer l’intersection de \((S)\) avec le plan d’équation \(z=\alpha\).

3. Calculer le volume du solide défini par : \(\left\{\displaystyle{x^2\over9}+y^2-{z^2\over4}\leqslant 1,\ a\leqslant z\leqslant b\right\}\).

4. La surface \((S)\) admet-elle des points singuliers ?

5. Donner l’équation du plan tangent à \((S)\) au point \(M(t)=(3\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t,0)\).

[oraux/ex1838] mines MP 2008 Nommer la surface d’équation : \(2x^2+y^2+z^2-8yz-2y+2z=0\).

[oraux/ex1833] polytechnique MP 2008 À quelle condition la quadrique \(a(x^2+2yz)+b(y^2+2xz)+c(z^2+2xy)=1\) est-elle de révolution ?

[concours/ex0476] centrale MP 1996 Soit \(H\) un hyperboloïde à deux nappes, \(A\) l’un de ses sommets, \(\Delta\) une droite tangente en \(A\) à \(H\) et \(P\) un plan contenant \(\Delta\). Nature de l’intersection \(\Gamma_P\) du plan et de l’hyperboloïde ? Lieu du centre de courbure de \(\Gamma_P\) lorsque \(P\) varie ?