Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex0655] Montrer que les trois surfaces : \[\begin{array}{rrcl} \mathscr{S}_1\ :\ {}&14x^2+11y^2+8z^2&=&66\\ \mathscr{S}_2\ :\ {}&3z^2-5x+y&=&0\\ \mathscr{S}_3\ :\ {}&xy+yz-4zx&=&0\end{array}\] sont deux à deux perpendiculaires au point \((1,2,1)\).

[oraux/ex5778] centrale PC 2012 Dans \(\mathbf{R}^3\), soient \((S)\) d’équation \(x^2+y^2+z^2=1\), \((\Sigma)\) d’équation \(x^2+y^2-2x=0\), et \(({\cal C})\) l’intersection de \((S)\) et de \((\Sigma)\).

1. Préciser la nature de \((S)\) et de \((\Sigma)\).

2. Montrer que tout point de \(({\cal C})\) est régulier.

3. Déterminer les projections orthogonales de \(({\cal C})\) sur les plans \((x=0)\), \((y=0)\) et \((z=0)\).

[concours/ex2556] centrale M 1995 Soit \(S\) la surface d’équation \(z=\sqrt{x^2+y^2+a}\). Reconnaître \(S\). Discuter l’existence sur \(S\) de courbes bi-régulières dont la normale principale reste tangente à \(S\).

[oraux/ex3951] mines MP 2011 Soient \(S\) la surface d’équation \(xy=z^2\) de \(\mathbf{R}^3\), \(D\) la droite d’équations \(x=2\), \(y=3z-3\). Déterminer les points réguliers de \(S\) en lesquels le plan tangent à \(S\) contient \(D\).

[oraux/ex4307] centrale PSI 2011 (avec Maple)

Soient \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx-x+y-3z=0\).

1. Représenter \(\mathscr{S}\). Trouver une équation réduite. Déterminer l’ensemble des cercles inclus dans \(\mathscr{S}\).

2. Soit \(u=(1,1,1)\). Déterminer l’ensemble \(\Gamma_u\) des points de \(\mathscr{S}\) en lesquels le plan tangent contient \(u\). Tracer \(\Gamma_u\). Déterminer le cylindre constitué des droites passant par \(\Gamma_u\) et dirigées par \(u\).