Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex9505] centrale PSI 2014 Soit \((a,b)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\). Nature de la surface d’équation \(a^{xy}=b^z\) ?

[oraux/ex4414] centrale PC 2011 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure euclidienne canonique orientée. Soit \(\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\) la base canonique. Soit \(\Sigma\) la surface d’équation \(x^2-2yz+4z^2=1\) dans la base canonique.

1. Montrer qu’il existe une base orthonormée directe \(e=(\varepsilon_1,e_2,e_3)\) dans laquelle l’équation de \(\Sigma\) est \(X^2+\alpha Y^2+\beta Z^2=1\).

2. Déterminer l’angle de la rotation \(r\) d’axe dirigé par \(\varepsilon_1\) telle que \(r(\varepsilon_2)=e_2\) et \(r(\varepsilon_3)=e_3\).

3. Déterminer l’intersection de \(\Sigma\) et du plan d’équation \(x=0\). Quelle est la nature de cette courbe ? son excentricité ?

[oraux/ex4410] centrale PC 2011 Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(3(x^2+y^2)=z^2\).

1. Caractériser \(\mathscr{S}\).

2. Soit \(\mathscr{C}\) l’intersection de \(\mathscr{S}\) et du plan d’équation \(z=\sqrt3\). Déterminer \(\mathscr{C}\). À l’aide de \(\mathscr{C}\) donner une paramétrisation de \(\mathscr{S}\).

3. Déterminer l’angle que font les génératrices avec \(\mathscr{C}\).

4. Soient \(\Gamma:t\mapsto(f(t),g(t),h(t))\) une courbe de classe \(\mathscr{C}^1\). Déterminer l’équation du plan tangent à \(\mathscr{S}\) en \(\Gamma(t_0)\).

[fct.R2/ex0467] Montrer que le paraboloïde hyperbolique \(z=y^2-x^2\) est une surface réglée, c’est-à-dire, que chacun de ses points se trouve sur une droite qui est entièrement contenue dans la surface.

[oraux/ex1802] ccp PC 2005 Réduction de la quadrique d’équation : \(3x^2+8xy+4xz-4yz+y+z=0\).