Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1811] mines PC 2006 On considère les droites \((D)\ \left\{\begin{array}{rcl}y&=&mx\\z&=&a\end{array}\right.\) et \((D')\ \left\{\begin{array}{rcl}y&=&-mx\\z&=&-a.\end{array}\right.\) Trouver le lieu des points \(M\) équidistants à ces deux droites.

[concours/ex3557] polytechnique M 1992 Ensemble des points équidistants de deux droites données de l’espace.

[oraux/ex1845] centrale MP 2008 Dans \(\mathbf{R}^3\) affine euclidien, soient \(D\) l’axe \((Oz)\) et \(D'\) la droite passant par \(A(a,0,0)\) avec \(a>0\) et dirigée par le vecteur de coordonnées \((1,1,1)\). Trouver le lieu des points équidistants de ces deux droites.

[oraux/ex1820] ccp PSI 2006 Soit \((S)\) la surface d’équation \(x^2+y^2-z^2=1\). Montrer qu’aucune droite parallèle au plan \((xOy)\) n’est contenue dans \((S)\). Soit \(D\) la droite définie par \(x=az+b\) et \(y=cz+d\). Montrer que \(D\) est incluse dans \((S)\) si et seulement si la matrice \(\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\) est orthogonale.

[oraux/ex4399] centrale PC 2011 Soient, pour \(a\in\mathbf{R}\), \(S_a=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^2,\ xy+xz+yz=a\}\) et, pour \(\lambda\in\mathbf{R}\), \(\Pi_\lambda=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ x+y+z=\lambda\}\).

1. Déterminer \(\Pi_\lambda\cap S_a\). Déterminer la distance de \(O\) à \(\Pi_\lambda\).

2. Montrer que \(S_a\) est une surface de révolution d’axe à préciser. Donner son équation dans une base orthonormée bien choisie.

3. Montrer que \(S_0\) est réunion de droites.

4. Si \(a\neq0\), montrer que \(S_a\) se déduit de \(S_{-1}\) ou de \(S_{-1}\) par une homothétie.