Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex1158] Soit \(\Sigma\) : \(z^2+4x^2+2y^2=1\). Montrer que la courbe de contact de \(\Sigma\) et du cône de sommet \(S(0,0,a)\) circonscrit à \(\Sigma\) est plane (\(a\not\in\left]-1,1\right[\)).

[oraux/ex1850] centrale MP 2008 Préciser la nature des surfaces de \(\mathbf{R}^3\) d’équations \(\Sigma_1\) : \(6x^2-y^2+11z^2=1\) et \(\Sigma_2\) : \(x^2-yz=1\). Déterminer l’ensemble des droites à la fois tangentes à \(\Sigma_1\) et à \(\Sigma_2\).

[concours/ex0476] centrale MP 1996 Soit \(H\) un hyperboloïde à deux nappes, \(A\) l’un de ses sommets, \(\Delta\) une droite tangente en \(A\) à \(H\) et \(P\) un plan contenant \(\Delta\). Nature de l’intersection \(\Gamma_P\) du plan et de l’hyperboloïde ? Lieu du centre de courbure de \(\Gamma_P\) lorsque \(P\) varie ?

[concours/ex3254] mines M 1993 Montrer que la surface d’équation \[2(xy+yz+zx)+2x-1=0\] est de révolution et en déterminer les éléments caractéristiques.

[concours/ex0310] mines MP 1996 Soit la surface \(\Sigma:x^2+y^2=z^2\). Quelles sont les courbes \(\Gamma\) tracées sur \(\Sigma\) telles que le segment de tangente compris entre le point courant et le plan \(xOy\) est de longueur constante ?

[concours/ex0566] tpe, int, ivp MP 1996 Trouver la surface engendrée par les droites rencontrant les trois droites \[\left\{\begin{array}{rcl}x&=&1\\y&=&0\end{array}\right.\,,\quad \left\{\begin{array}{rcl}x&=&0\\z&=&0\end{array}\right.\,,\quad \left\{\begin{array}{rcl}x&=&-1\\y&=&z\end{array}\right.\,.\]

[oraux/ex4408] centrale PC 2011 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure euclidienne canonique. Soit \(\mathscr{C}\) l’intersection de \((S)\) d’équation \(x^2+y^2+z^2-y-2z=0\) et de \((P)\) d’équation \(x+y+x=1\).

1. Donner les éléments caractéristiques de \(\Gamma\).

2. Soient \(1(0,1/2,1)\) et \(\Gamma\) la réunion des droites passant par \(a\) et par un point de \(\mathscr{C}\). Caractériser \(\Gamma\).

[concours/ex3255] mines M 1993 Déterminer le lieu des sommets des cônes circonscrits à : \[x^2+4y^2=z\] qui rencontrent le plan \(xOy\) selon un cercle.

[oraux/ex1859] mines PC 2009 Nature de la surface d’équation : \(2x^2+3y-4z^2=5\).

[fct.R2/ex0468] Décrire le graphe de la fonction \(f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\), où \(a>0\).

[oraux/ex1785] centrale MP 2005 Soit \((S)\) la surface d’équation \(z=x^2-y^2\).

1. Reconnaître \((S)\).

2. Indiquer pour quels \((u,v,w,t)\in\mathbf{R}^4\) le plan d’équation \(ux+vy+wz=t\) est tangent à \((S)\).

[oraux/ex1816] centrale PC 2006 Caractériser la surface donnée, dans \(\mathbf{R}^3\) muni de son repère orthonormé canonique, par : \[y^2+xy-xz-yz-3x-5y=0.\]

[fct.R2/ex0462] Identifier la surface d’équation \(x^2+4z^2=2y\).

[oraux/ex1892] centrale PC 2010 (avec Maple)

Soient \(f:(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\mapsto2x^2+y^2+2z^2+2xy+2yz+2xz\) et \(g:(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\setminus\{(0,0,0)\}\mapsto\displaystyle{f(x,y,z)\over x^2+y^2+z^2}\).

1. Représenter la surface d’équation \(f(x,y,z)=1\). Déterminer son type.

2. Montrer que \(g\) admet un minimum et un maximum. Déterminer les points en lesquels ils sont atteints et les valeurs de ces extrema.

3. Soit \(u\in\mathscr{S}(\mathbf{R}^3)\) de valeurs propres \((\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\). Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(\lambda_1\|x\|^2\leqslant\langle u(x),x\rangle\leqslant\lambda_3\|x\|^2\). Interpréter le résultat de la question précédente.

[fct.R2/ex0996] Représenter et reconnaître la surface d’équation : \[x^2+y^2+z^2-4x+6y+2z-2=0.\]

[fct.R2/ex0642] Calculer l’équation du plan tangent à l’ellipsoïde \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}=1\) en \((x_0,y_0,z_0)\).

[fct.R2/ex0458] Montrer que le plan \(2x-y-2z=10\) coupe le paraboloïde \(2z=\displaystyle{x^2\over9}+{y^2\over4}\) en un seul point, et trouver les coordonnées de ce point.

[oraux/ex3951] mines MP 2011 Soient \(S\) la surface d’équation \(xy=z^2\) de \(\mathbf{R}^3\), \(D\) la droite d’équations \(x=2\), \(y=3z-3\). Déterminer les points réguliers de \(S\) en lesquels le plan tangent à \(S\) contient \(D\).

[concours/ex0478] centrale MP 1996 Soit \(\Sigma\) la surface d’équation \((x^2+y^2)z^2=a^2y^2\), \(a>0\) fixé.

1. Déterminer les droites incluses dans \(\Sigma\).

2. Montrer que toutes ces droites sont tangentes à deux sphères.

3. Déterminer les courbes tracées sur \(\Sigma\) orthogonales à ces droites.

[oraux/ex1834] polytechnique MP 2008 On considère le cône \(C\) d’équation \(ax^2+2bxy+2cxz+dy^2+2eyz+fz^2=0\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe trois génératrices de \(C\) deux à deux orthogonales.