Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex9507] centrale PSI 2014 (avec Maple)

Soit \((S)\) la surface d’équation : \[x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+3x-y+2z=0.\]

1. Trouver l’équation réduite de \((S)\) dans un repère orthonormé que l’on précisera.

2. Soit \(\vec u=(1,1,1)\). Déterminer \(\Gamma_{\vec u}\) la courbe constituée des points \(M\) de \((S)\) tels que la droite \((M,\vec u)\) soit tangente à \((S)\) en \(M\).

3. Tracer \((S)\) et \(\Gamma_{\vec u}\) sur la même figure.

[oraux/ex1892] centrale PC 2010 (avec Maple)

Soient \(f:(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\mapsto2x^2+y^2+2z^2+2xy+2yz+2xz\) et \(g:(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\setminus\{(0,0,0)\}\mapsto\displaystyle{f(x,y,z)\over x^2+y^2+z^2}\).

1. Représenter la surface d’équation \(f(x,y,z)=1\). Déterminer son type.

2. Montrer que \(g\) admet un minimum et un maximum. Déterminer les points en lesquels ils sont atteints et les valeurs de ces extrema.

3. Soit \(u\in\mathscr{S}(\mathbf{R}^3)\) de valeurs propres \((\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\). Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(\lambda_1\|x\|^2\leqslant\langle u(x),x\rangle\leqslant\lambda_3\|x\|^2\). Interpréter le résultat de la question précédente.

[fct.R2/ex1160] Cercles de \(\Sigma\) : \(x^2+2y^2+3z^2=1\).

[oraux/ex1765] centrale 2004 Soit des réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(0<c<b<a\). Pour tout \(\lambda\) réel autre que \(-a\), \(-b\), \(-c\), on note \(Q_\lambda\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over\lambda+a}+{y^2\over\lambda+b}+{z^2\over\lambda+c}=0\).

1. Étudier, selon \(\lambda\), la nature de \(Q_\lambda\).

2. Soit \(M\in\mathbf{R}^3\) un point dont aucune coordonnée n’est nulle. Montrer qu’il existe exactement trois réels \(\lambda\) tels que \(M\in Q_\lambda\).

3. Montrer que les plans tangents en \(M\) aux trois surfaces \(Q_\lambda\) passant par \(M\) sont deux à deux perpendiculaires.

[fct.R2/ex1162] Soit \(\Sigma\) : \(x^2+y^2-z^2=a^2\). Trouver les plans qui recontrent \(\Sigma\) suivant deux droites perpendiculaires.

[concours/ex1653] ccp, tpe, int, ivp PC 1998 Étudier l’ensemble des points \((x,y,z)\) de \(\mathbf{R}^3\) tels que \(\left(\begin{array}{cc}x&-z\\z&y\end{array}\right)\) n’est pas diagonalisable dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).

[fct.R2/ex0637] Calculer l’équation du plan tangent à \(z=xy\) en \(\left(2,\displaystyle{1\over2},1\right)\).

[concours/ex3819] centrale M 1992 Soit \((\Sigma)\) et \((\Sigma')\) les surfaces d’équations respectives \(az=xy\) et \(bz=xy\), \(a>0\), \(b>0\).

1. Nature des surfaces \((\Sigma)\) et \((\Sigma')\) ?

2. Base du plan tangent à \((\Sigma)\) au point \(M(x,y,z)\) ?

3. Trouver les courbes \((\gamma)\) tracées sur \((\Sigma)\) telles que toutes les tangentes à \((\gamma)\) soient tangentes à \((\Sigma')\).

[oraux/ex9466] centrale PC 2013 (avec Maple)

Soient \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \[xy+yz+zx-(x+y+z)+1=0,\] \(\mathscr{D}_1\) la droite d’équation \(y=0\), \(z=1\), \(\mathscr{D}_2\) la droite d’équation \(x=0\), \(y=1\) et \(\mathscr{D}_3\) la droite d’équation \(z=0\), \(x=1\).

1. Représenter \(\mathscr{S}\), \(\mathscr{D}_1\), \(\mathscr{D}_2\), \(\mathscr{D}_3\). Que remarque-t-on ? Montrer le résultat.

2. Montrer qu’il existe une base orthonormée dans laquelle l’équation de \(\mathscr{S}\) est : \[{X^2\over a^2}-{Y^2\over b^2}-{Z^2\over c^2}=-1.\] Préciser \((a,b,c)\).

3. Montrer qu’il existe une infinité de droites incluses dans \(\mathscr{S}\).

[oraux/ex5694] centrale PSI 2012 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure affine euclidienne canonique. Soient \(\mathcal{P}=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\;2x+3y-z=0\}\) et \(\mathcal{C}=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\;x^2+y^2=z^2\}\). Reconnaître \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{C}\). Montrer que leur intersection est constituée de deux droites ; déterminer l’angle entre ces droites.

[fct.R2/ex0453] Décrire et tracer le graphe de \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}={z^2\over c^2}\), où \(a\), \(b\), \(c>0\).

[oraux/ex1893] centrale PC 2010 Soient \(a>0\), \(s(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-a^2\), \(p(x,y,z)=(x+y+z)^2-a^2\), \((S)\) la surface d’équation \(s=0\), \((P)\) la surface d’équation \(p=0\) et \((\Sigma_u)\) la surface d’équation \(\alpha s+p=0\).

1. Déterminer \(S\cap P\).

2. Déterminer les \(\alpha\in\mathbf{R}\) tels que \(O\in\Sigma_u\). Quelle est la nature de ces surfaces ?

[fct.R2/ex0644] Calculer un vecteur tangent au point \((2,1,4)\) à la courbe intersection du cône \(z^2=3x^2+4y^2\) et du plan \(3x-2y+z=8\).

[oraux/ex1850] centrale MP 2008 Préciser la nature des surfaces de \(\mathbf{R}^3\) d’équations \(\Sigma_1\) : \(6x^2-y^2+11z^2=1\) et \(\Sigma_2\) : \(x^2-yz=1\). Déterminer l’ensemble des droites à la fois tangentes à \(\Sigma_1\) et à \(\Sigma_2\).

[fct.R2/ex0998] Représenter l’ensemble des points de l’espace dont les coordonnées vérifient le système : \[\left\{\begin{array}{rcl} x^2+y^2+z^2&=&1\\ x^2+y^2&=&z^2\end{array}\right.\]

[oraux/ex4408] centrale PC 2011 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure euclidienne canonique. Soit \(\mathscr{C}\) l’intersection de \((S)\) d’équation \(x^2+y^2+z^2-y-2z=0\) et de \((P)\) d’équation \(x+y+x=1\).

1. Donner les éléments caractéristiques de \(\Gamma\).

2. Soient \(1(0,1/2,1)\) et \(\Gamma\) la réunion des droites passant par \(a\) et par un point de \(\mathscr{C}\). Caractériser \(\Gamma\).

[concours/ex1551] centrale MP 1998

1. On considère l’ellipse d’équation \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1\) dans un repère orthonormé. Condition nécessaire et suffisante sur \((a,b)\) pour que l’excentricité \(e\) de cette ellipse soit égale à \(\displaystyle{\sqrt2\over2}\) ?

2. On considère le paraboloïde d’équation \(x^2+y^2=2pz\) dans un repère orthonormé. Lieu des centres des ellipses tracées sur le paraboloïde et d’excentricité \(e=\displaystyle{\sqrt2\over2}\) ? Lieu des foyers de ces ellipses.

   Indication : déterminer d’abord des propriétés géométriques des ensembles cherchés.

[oraux/ex1792] centrale PSI 2005 Soient \(P=\left\{\vphantom{|_|}\smash{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ x+y+z=1}\right\}\) et \(S=\left\{\vphantom{|_|}\smash{x^2+y^2+z^2-4x-6y=0}\right\}\). Déterminer \(P\cap S\).

[concours/ex4195] mines M 1990 \((S)\) est la surface d’équation \(x^2+y^2=z^2\) (repère orthonormé). Nature de \((S)\) ? Déterminer les courbes de \((S)\) pour lesquelles le plan osculateur est orthogonal au plan tangent à \((S)\).

[fct.R2/ex0655] Montrer que les trois surfaces : \[\begin{array}{rrcl} \mathscr{S}_1\ :\ {}&14x^2+11y^2+8z^2&=&66\\ \mathscr{S}_2\ :\ {}&3z^2-5x+y&=&0\\ \mathscr{S}_3\ :\ {}&xy+yz-4zx&=&0\end{array}\] sont deux à deux perpendiculaires au point \((1,2,1)\).