Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex0649] Calculer les équations de la tangente à la courbe intersection des surfaces \(x^2+2y^2+2z^2=5\) et de \(3x-2y-z=0\) en \((1,1,1)\).

[oraux/ex1860] mines PC 2009 Nature de la surface d’équation : \(5x^2-7y^2-2z^2=1\).

[oraux/ex1895] centrale PC 2010 (avec Maple)

Soit \((S)\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over9}+y^2-{z^2\over4}=1\).

1. Nature de \((S)\) ? Donner un paramétrage de \((S)\). Tracer \((S)\) à l’aide de Maple.

2. Déterminer l’intersection de \((S)\) avec le plan d’équation \(z=\alpha\).

3. Calculer le volume du solide défini par : \(\left\{\displaystyle{x^2\over9}+y^2-{z^2\over4}\leqslant 1,\ a\leqslant z\leqslant b\right\}\).

4. La surface \((S)\) admet-elle des points singuliers ?

5. Donner l’équation du plan tangent à \((S)\) au point \(M(t)=(3\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t,0)\).

[planches/ex8820] centrale PC 2022 On fixe un réel \(a>0\) et on considère \(E=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ 4x^2+2y^2+z^2=16a^2\}\).

1. Montrer que l’ensemble \(\Gamma\) des points de \(E\) en lesquels le plan tangent passe par le point \(A=(0,4a,4a)\) est une courbe plane.

2. On note \(L\) l’intersection de \(E\) avec le plan d’équation \(z=2a\sqrt2\). Montrer qu’une représentation paramétrique de \(L\) est \(t\longmapsto(a\sqrt2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t,2a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t,2a\sqrt2)\).

3. Donner une représentation paramétrique de la réunion \(S\) des normales à \(E\) rencontrant \(L\). Préciser l’intersection de \(S\) avec le plan d’équation \(z=0\).

[concours/ex3348] centrale M 1993 Discuter la nature et comparer les coniques : \[\left\{\begin{array}{rcl} (ax+by)^2+(a'x+b'y)^2 &=& c\\ (ax+a'y)^2+(bx+b'y)^2 &=& c, \end{array}\right.\] puis les quadriques : \[\left\{\begin{array}{rcl} (ax+by+cz)^2+(a'x+b'y+c'z)^2+(a''x+b''y+c''z)^2 &=& d\\ (ax+a'y+a''z)^2+(bx+b'y+b''z)^2+(cx+c'y+c''z)^2 &=& d. \end{array}\right.\]

[concours/ex3819] centrale M 1992 Soit \((\Sigma)\) et \((\Sigma')\) les surfaces d’équations respectives \(az=xy\) et \(bz=xy\), \(a>0\), \(b>0\).

1. Nature des surfaces \((\Sigma)\) et \((\Sigma')\) ?

2. Base du plan tangent à \((\Sigma)\) au point \(M(x,y,z)\) ?

3. Trouver les courbes \((\gamma)\) tracées sur \((\Sigma)\) telles que toutes les tangentes à \((\gamma)\) soient tangentes à \((\Sigma')\).

[fct.R2/ex0642] Calculer l’équation du plan tangent à l’ellipsoïde \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}=1\) en \((x_0,y_0,z_0)\).

[oraux/ex9505] centrale PSI 2014 Soit \((a,b)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\). Nature de la surface d’équation \(a^{xy}=b^z\) ?

[concours/ex6206] ccp PSI 2007 Nature de la quadrique : \(-y^2+3z^2-6\sqrt2z+2x-4=0\) ?

[fct.R2/ex0636] Calculer l’équation du plan tangent à \(z=x^2+y^2\) en \((1,2,5)\).

[oraux/ex1861] mines PC 2009 Soient \((a,b,c)\in(\mathbf{R}_+^*)^3\) et \(\mathscr{S}\) la surface d’équation : \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}=1\). Déterminer les plans tangents à \(\mathscr{S}\) coupant \((Ox)\), \((Oy)\) et \((Oz)\) respectivement en \(A\), \(B\), \(C\) avec \(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}\).

[concours/ex1191] polytechnique PC 1998 Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}=1\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont trois réels non nuls. Trouver l’ensemble des points \(P\) par lesquels passent trois plans tangents à \(\mathscr{S}\) et perpendiculaires deux à deux.

[concours/ex2830] mines M 1994 Soit \((O,\mathchoice{\overrightarrow{i}}{\overrightarrow{i}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle i}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle i}},\mathchoice{\overrightarrow{j}}{\overrightarrow{j}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle j}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle j}},\mathchoice{\overrightarrow{k}}{\overrightarrow{k}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle k}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle k}})\) un repère orthonormé. Reconnaître la surface \(\Sigma\) d’équation \((x+y+z)^2-4yz=0\). Déterminer l’angle des plans tangents à \(\Sigma\) contenant la droite \((x=2y\ ;\ x=-z)\).

[concours/ex0478] centrale MP 1996 Soit \(\Sigma\) la surface d’équation \((x^2+y^2)z^2=a^2y^2\), \(a>0\) fixé.

1. Déterminer les droites incluses dans \(\Sigma\).

2. Montrer que toutes ces droites sont tangentes à deux sphères.

3. Déterminer les courbes tracées sur \(\Sigma\) orthogonales à ces droites.

[concours/ex3818] centrale M 1992 Soit \((P)\) le paraboloïde elliptique \[x^2+\alpha y^2=2pz\quad(\alpha>1,\quad p>0).\] trouver les sphères \((S)\) telles que \((S)\cap (P)\) soit un cercle.

[concours/ex3346] centrale M 1993

1. Soit \(E\) un espace euclidien de dimension finie \(n\), et \(u\) un endomorphisme symétrique de \(E\). On pose : \[\mathscr{C}=\{x\in E\mid(u(x)\mid x)=0\}.\] Montrer que \(\mathscr{C}\) contient une base orthonormée si, et seulement si, \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits u=0\).

2. Dans l’espace affine euclidien \(\mathbf{R}^3\), on considère la parabole \((\mathscr{P})\) : \(y^2=2px\), \(z=0\). Déterminer les points \(M\) de l’espace tels qu’il passe par \(M\) trois droites orthogonales s’appuyant sur \((\mathscr{P})\).

[oraux/ex1884] centrale MP 2010 (avec Maple)

Soit \(p\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). La surface \(S\) est définie par \(M(u,v)=\left(\displaystyle{u^2\over2p},u\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(v),u\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(v)\right)\).

1. Représenter \(S\) avec Maple.

2. Identifier \(S\).

3. Donner un vecteur normal à \(S\) au point de paramètre \((u,v)\).

4. Identifier le lieu des points qui sont centre d’une sphère tangente à \(S\) passant par \(F=(p/2,0,0)\). Interprétation de \(p\) ?

[fct.R2/ex0468] Décrire le graphe de la fonction \(f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\), où \(a>0\).

[oraux/ex1880] mines PC 2010 Soient \((S)\) la surface d’équation \(x^2-y^2+z^2=1\) et \((P)\) le plan d’équation \(2x+y-z=2\). Déterminer les points de \((S)\) en lesquels le plan tangent est parallèle à \((P)\).

[oraux/ex1866] centrale PSI 2009 Soient \(\mathscr{C}\) et \(\mathscr{D}\) les surfaces de \(\mathbf{R}^3\) d’équations respectives : \(2x-3y+z=0\) et \(x^2+y^2-z^2=0\).

1. Reconnaître \(\mathscr{C}\) et \(\mathscr{D}\).

2. Montrer que leur intersection est constituée de deux droites. Déterminer l’angle entre ces droites.