Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4412] centrale PC 2011 Soit \((S)\) la surface paramétrée par \(\Phi:(\theta,\varphi)\mapsto(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\varphi,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\varphi,\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\).

1. Reconnaître \((S)\). Représenter les vecteurs \(\displaystyle{\partial\Phi\over\partial\theta}\) et \(\displaystyle{\partial\Phi\over\partial\theta}\).

2. Caractériser les \(\gamma\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{R}^3)\) telles que \(\gamma(\mathbf{R})\subset(S)\) et telles que l’angle entre \(\gamma'(t)\) et \(\displaystyle{\partial\Phi\over\partial\theta}(\gamma(t))\) soit constant égal à \(\beta\).

[oraux/ex1866] centrale PSI 2009 Soient \(\mathscr{C}\) et \(\mathscr{D}\) les surfaces de \(\mathbf{R}^3\) d’équations respectives : \(2x-3y+z=0\) et \(x^2+y^2-z^2=0\).

1. Reconnaître \(\mathscr{C}\) et \(\mathscr{D}\).

2. Montrer que leur intersection est constituée de deux droites. Déterminer l’angle entre ces droites.

[oraux/ex9466] centrale PC 2013 (avec Maple)

Soient \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \[xy+yz+zx-(x+y+z)+1=0,\] \(\mathscr{D}_1\) la droite d’équation \(y=0\), \(z=1\), \(\mathscr{D}_2\) la droite d’équation \(x=0\), \(y=1\) et \(\mathscr{D}_3\) la droite d’équation \(z=0\), \(x=1\).

1. Représenter \(\mathscr{S}\), \(\mathscr{D}_1\), \(\mathscr{D}_2\), \(\mathscr{D}_3\). Que remarque-t-on ? Montrer le résultat.

2. Montrer qu’il existe une base orthonormée dans laquelle l’équation de \(\mathscr{S}\) est : \[{X^2\over a^2}-{Y^2\over b^2}-{Z^2\over c^2}=-1.\] Préciser \((a,b,c)\).

3. Montrer qu’il existe une infinité de droites incluses dans \(\mathscr{S}\).

[concours/ex2412] mines M 1995 Plans tangents communs à \(\{z=0,x^2+y^2=1\}\) et \(\{2xy=z\}\).

[concours/ex2627] tpe, int, ivp M 1995 Soit la surface \(\mathscr{S}\) : \((x+y+z)^2=4yz\) ; angle des plans tangents à \(\mathscr{S}\) incluant la droite : \(\left\{x+2y=0;\ x-z=0\right\}\).

[concours/ex0480] centrale MP 1996 Soit \(\Sigma\) la surface d’équation \(x^2-y^2-z^2=a^2\) dans \(\mathbf{R}^3\) euclidien. Déterminer l’ensemble des projetés orthogonaux de \(O\) sur les plans tangents à \(\Sigma\).

[oraux/ex5694] centrale PSI 2012 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure affine euclidienne canonique. Soient \(\mathcal{P}=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\;2x+3y-z=0\}\) et \(\mathcal{C}=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\;x^2+y^2=z^2\}\). Reconnaître \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{C}\). Montrer que leur intersection est constituée de deux droites ; déterminer l’angle entre ces droites.

[oraux/ex1802] ccp PC 2005 Réduction de la quadrique d’équation : \(3x^2+8xy+4xz-4yz+y+z=0\).

[oraux/ex1859] mines PC 2009 Nature de la surface d’équation : \(2x^2+3y-4z^2=5\).

[oraux/ex9465] centrale PC 2013 Nature (sommet et directrice si c’est un cône) de la surface d’équation \(x(a-z)+y(a-x)+z(a-y)=a\) avec \(a\in\mathbf{R}\) ?

[oraux/ex1808] mines MP 2006 Reconnaître, si \(\alpha\in\mathbf{R}\), la quadrique d’équation : \[x^2+3y^2-3z^2-4xy+2xz-8yz+\alpha x+2y-z=1.\]

[concours/ex5767] mines MP 2007 Nature de la surface d’équation : \(x^2+y^2=az^2\) avec \(a\in\mathbf{R}\) ?

[concours/ex4047] polytechnique pox P 1990 Nature de la surface d’équation : \[(x+y)(y-z)+3x-5y=0.\]

[oraux/ex1863] centrale MP 2009

1. Montrer qu’un ellipsoïde, un paraboloïde elliptique et un hyperboloïde à deux nappes ne sont pas des surfaces réglées.

2. Soit \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) un paraboloïde hyperbolique d’équation cartésienne réduite \(\displaystyle{z^2\over a^2}-{y^2\over b^2}=2z\) avec \(a>0\) et \(b>0\).

   1. Montrer que, par tout point \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) passent deux droites incluses dans \(\mathscr{P}\mathscr{H}\).

   2. Proposer un paramétrage de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) de la forme \((u,t)\mapsto M(u,t)\) où \(M(u,0)=(au,0,u^2/2)\) et tel que, pour tout \(u\), \(t\mapsto M(u,t)\) paramètre une droite.

   3. Proposer un paramétrage \((\lambda,\mu)\mapsto P(u,t)\) de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\)tel que, pour tout \(\lambda\), \(\mu\mapsto P(\lambda,\mu)\) paramètre une droite, et pour tout \(\mu\), \(\lambda\mapsto P(\lambda,\mu)\) paramètre une droite.

[oraux/ex1893] centrale PC 2010 Soient \(a>0\), \(s(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-a^2\), \(p(x,y,z)=(x+y+z)^2-a^2\), \((S)\) la surface d’équation \(s=0\), \((P)\) la surface d’équation \(p=0\) et \((\Sigma_u)\) la surface d’équation \(\alpha s+p=0\).

1. Déterminer \(S\cap P\).

2. Déterminer les \(\alpha\in\mathbf{R}\) tels que \(O\in\Sigma_u\). Quelle est la nature de ces surfaces ?

[concours/ex0566] tpe, int, ivp MP 1996 Trouver la surface engendrée par les droites rencontrant les trois droites \[\left\{\begin{array}{rcl}x&=&1\\y&=&0\end{array}\right.\,,\quad \left\{\begin{array}{rcl}x&=&0\\z&=&0\end{array}\right.\,,\quad \left\{\begin{array}{rcl}x&=&-1\\y&=&z\end{array}\right.\,.\]

[concours/ex0987] centrale MP 1997 Soient des réels \(a\) et \(b\) et un entier \(n\geqslant 2\). On note \(A\) la matrice carrée d’ordre \(n\) : \[A=\left(\begin{array}{cccccc} a+b&b&\cdots&\cdots&\cdots&b\\ b&a&0&\cdots&0&\vdots\\ \vdots&0&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&0&\vdots\\ \vdots&0&\cdots&0&a&b\\ b&\cdots&\cdots&\cdots&b&a+b\end{array}\right)\,.\]

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable.

2. Trouver les éléments propres de \(A\).

3. Pour \(n=3\) discuter la nature de la quadrique d’équation \({}^tXAX=1\).

[oraux/ex4134] mines PC 2011 Nature de la surface d’équation : \(x-3y^2+7z^2=0\) ?

[concours/ex0478] centrale MP 1996 Soit \(\Sigma\) la surface d’équation \((x^2+y^2)z^2=a^2y^2\), \(a>0\) fixé.

1. Déterminer les droites incluses dans \(\Sigma\).

2. Montrer que toutes ces droites sont tangentes à deux sphères.

3. Déterminer les courbes tracées sur \(\Sigma\) orthogonales à ces droites.

[fct.R2/ex0466] Montrer que l’hyperboloïde à une nappe \(x^2+y^2-z^2=1\) est une surface réglée, c’est-à-dire, que chacun de ses points se trouve sur une droite qui est entièrement contenue dans la surface.