Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4006] mines PSI 2011 Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((\alpha,\beta)\in\mathbf{R}^2\) pour que l’ensemble : \[\left\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ \alpha\left(\vphantom{|_|}\smash{(1+x)^2+(1+y)^2+(1+z)^2}\right) +2\beta(xy+yz+zx)=0\right\}\] soit un compact non vide.

[oraux/ex5695] centrale PSI 2012 Nature de \(K=\left\{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\; xy +yz+xz+a(x^2+y^2+z^2)=b\right\}\) suivant \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) ? Pour quelles valeurs l’ensemble \(K\) est-il compact ?

[fct.R2/ex1163] Soit \(\Sigma\) : \(x^2+y^2-2az=0\). Trouver les arcs \(C^1\) réguliers de \(\Sigma\) tels que la tangentes en \(M\) à l’arc rencontre \(Oz\) suivant un angle constant.

[oraux/ex1801] ccp PC 2005 Déterminer, suivant les valeurs des réels \(a\) et \(b\), la nature de la quadrique dont l’équation, en repère orthonormé, est : \(x^2+xy-xz-yz+ax+bz=0\).

[planches/ex4731] polytechnique MP 2019 Décrire et représenter \(\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ x^2+y^2+z^2-2xz=1,\ x+z=0\}\).

[oraux/ex1861] mines PC 2009 Soient \((a,b,c)\in(\mathbf{R}_+^*)^3\) et \(\mathscr{S}\) la surface d’équation : \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}=1\). Déterminer les plans tangents à \(\mathscr{S}\) coupant \((Ox)\), \((Oy)\) et \((Oz)\) respectivement en \(A\), \(B\), \(C\) avec \(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}\).

[concours/ex2922] centrale M 1994 Soit \(S\) la surface \(\{x^2-y^2-z^2=a^2\}\) (\(a>0\)). Soit \(\Sigma\) l’ensemble des projetés de \(O\) sur les plans tangents à \(S\).

1. Reconnaître \(S\).

2. Étudier \(\Sigma\). Tracer sa méridienne.

3. Calculer le volume intérieur à \(\Sigma\).

[oraux/ex1884] centrale MP 2010 (avec Maple)

Soit \(p\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). La surface \(S\) est définie par \(M(u,v)=\left(\displaystyle{u^2\over2p},u\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(v),u\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(v)\right)\).

1. Représenter \(S\) avec Maple.

2. Identifier \(S\).

3. Donner un vecteur normal à \(S\) au point de paramètre \((u,v)\).

4. Identifier le lieu des points qui sont centre d’une sphère tangente à \(S\) passant par \(F=(p/2,0,0)\). Interprétation de \(p\) ?

[fct.R2/ex0655] Montrer que les trois surfaces : \[\begin{array}{rrcl} \mathscr{S}_1\ :\ {}&14x^2+11y^2+8z^2&=&66\\ \mathscr{S}_2\ :\ {}&3z^2-5x+y&=&0\\ \mathscr{S}_3\ :\ {}&xy+yz-4zx&=&0\end{array}\] sont deux à deux perpendiculaires au point \((1,2,1)\).

[planches/ex4106] navale PSI 2018 Soit \(S\) la surface d’équation \(x^2-y^2-z=1\), \(P\) le plan d’équation \(x+2y-z=0\). Donner l’ensemble des points \(M\) de \(S\) tels que le plan tangent à \(S\) en \(M\) soit parallèle à \(P\).

[concours/ex5767] mines MP 2007 Nature de la surface d’équation : \(x^2+y^2=az^2\) avec \(a\in\mathbf{R}\) ?

[oraux/ex1871] centrale PC 2009 Étudier la quadrique d’équation \(16x^2-9y^2-9z^2+24x+18=0\) : nature, tracé, paramétrage.

[oraux/ex9511] centrale PC 2014 (avec Maple)

Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \(A=\pmatrix{a&c&b\cr c&b&a\cr b&a&c}\).

1. Montrer que \(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\geqslant 0\). À quelle condition a-t-on égalité ?

2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? Que dire de ses valeurs propres ?

3. Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \(\mathscr{Q}\) d’équation \[a(x^2+2yz)+b(y^2+2xz)+c(z^2+2xy)=0.\]

   1. Tracer \(\mathscr{Q}\) pour \((a,b,c)=(1,2,-2/3)\), puis pour \((a,b,c)=(-1,-2,2/3)\).

   2. Caractériser cette surface.

   3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(\mathscr{Q}\) soit une surface de révolution.

[oraux/ex3950] mines MP 2011 Donner les éléments de la quadrique d’équation : \[13x^2+10y^2+5z^2-4xy-6xz-12yz-14=0.\]

[oraux/ex9505] centrale PSI 2014 Soit \((a,b)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\). Nature de la surface d’équation \(a^{xy}=b^z\) ?

[oraux/ex1867] centrale PSI 2009 Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b,c,d)\in\mathbf{R}^4\) pour que le plan d’équation \(ax+by+cz+d=0\) soit tangent à la surface d’équation : \(\displaystyle{x^2\over\alpha^2}+{y^2\over\beta^2}+{z^2\over\gamma^2}=1\).

[concours/ex4309] centrale M 1990 Soit \(\Sigma\) : \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}-pz=0\). On coupe par un plan variable contenant \((Ox)\). Déterminer la nature de l’intersection et l’ensemble des centres de courbure en \(O\) de ces intersections.

[oraux/ex1809] mines MP 2006 Équation réduite et nature de la surface d’équation : \[2x^2+2y^2+z^2+2xy-2xz-yz+4x-2y-z+3=0.\]

[concours/ex0987] centrale MP 1997 Soient des réels \(a\) et \(b\) et un entier \(n\geqslant 2\). On note \(A\) la matrice carrée d’ordre \(n\) : \[A=\left(\begin{array}{cccccc} a+b&b&\cdots&\cdots&\cdots&b\\ b&a&0&\cdots&0&\vdots\\ \vdots&0&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&0&\vdots\\ \vdots&0&\cdots&0&a&b\\ b&\cdots&\cdots&\cdots&b&a+b\end{array}\right)\,.\]

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable.

2. Trouver les éléments propres de \(A\).

3. Pour \(n=3\) discuter la nature de la quadrique d’équation \({}^tXAX=1\).

[oraux/ex5778] centrale PC 2012 Dans \(\mathbf{R}^3\), soient \((S)\) d’équation \(x^2+y^2+z^2=1\), \((\Sigma)\) d’équation \(x^2+y^2-2x=0\), et \(({\cal C})\) l’intersection de \((S)\) et de \((\Sigma)\).

1. Préciser la nature de \((S)\) et de \((\Sigma)\).

2. Montrer que tout point de \(({\cal C})\) est régulier.

3. Déterminer les projections orthogonales de \(({\cal C})\) sur les plans \((x=0)\), \((y=0)\) et \((z=0)\).