Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex5780] centrale PC 2012 Pour \(b\in \mathbf{R}\), on considère \((S) : 2x^2+y^2-4xy-4yz=b\). Déterminer la nature de \((S)\) en fonction de \(b\). Déterminer la nature de l’intersection de \((S)\) avec le plan \(z=0\).

[concours/ex3253] mines M 1993 Soit \(P\) la surface d’équation \[{z\over h}={x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}\] et \(\Pi\) un plan contenant l’axe \(Ox\). Soit \(\Gamma_\Pi\) l’intersection de \(P\) et de \(\Pi\). Trouver le lieu du centre de courbure en \(O\) à \(\Gamma_\Pi\).

[oraux/ex1896] centrale PC 2010 (avec Maple)

Soit \((E)\) la surface d’équation \(x^2+y^2+4z^2=1\).

1. Représenter \((E)\).

2. Soit \(R\) la rotation d’axe dirigé par \(\vec u(4,3,0)\) et d’angle \(t\). Soit \((x',y',z')\) l’image de \((x,y,z)\) par \(R\). Exprimer \((x',y',z')\) en fonction de \((x,y,z)\).

3. Déterminer une équation de \((E_t)\), image de \((E)\) par \(R\).

[examen/ex4256] imt PSI 2025 Trouver les plans tangents à la surface d’équation \(x^2+y^2+z^2+4x+6y-2z=1\), qui sont parallèles au plan d’équation \(x+y+z=0\).

[fct.R2/ex0636] Calculer l’équation du plan tangent à \(z=x^2+y^2\) en \((1,2,5)\).

[concours/ex0566] tpe, int, ivp MP 1996 Trouver la surface engendrée par les droites rencontrant les trois droites \[\left\{\begin{array}{rcl}x&=&1\\y&=&0\end{array}\right.\,,\quad \left\{\begin{array}{rcl}x&=&0\\z&=&0\end{array}\right.\,,\quad \left\{\begin{array}{rcl}x&=&-1\\y&=&z\end{array}\right.\,.\]

[oraux/ex1870] centrale PC 2009 (avec Maple)

Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(\displaystyle{-6\over5}x^2+2xy+{6\over5}xz+{3\over2}y^2-yz+{7\over10}z^2=0\).

1. Déterminer la nature de \(\mathscr{S}\). Donner un repère dans lequel \(\mathscr{S}\) est sous forme réduite. Représenter \(\mathscr{S}\).

2. Soit \(\mathscr{S}'\) la quadrique d’équation réduite dans le repère orthonormé direct \((O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)\) : \(x^2+2y^2-z^2=0\). Soient \(\Pi\) un plan de \(\mathbf{R}^3\) de vecteur normal unitaire \(\vec n\). À quelle condition l’intersection \(\Pi\cap\mathscr{S}'\) est-elle un cercle ? Déterminer les centres de ces cercles.

[oraux/ex1834] polytechnique MP 2008 On considère le cône \(C\) d’équation \(ax^2+2bxy+2cxz+dy^2+2eyz+fz^2=0\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe trois génératrices de \(C\) deux à deux orthogonales.

[oraux/ex1803] tpe PC 2005 Trouver le lieu \((S)\) des points équidistants de l’axe \(Oz\) et de la droite d’équation \(\left\{\begin{array}{l}x+y-1=0\\z=0.\end{array}\right.\) Trouver les droites incluses dans \((S)\).

[concours/ex4032] polytechnique M 1990 Soit \(\Phi\) la forme quadratique sur \(\mathbf{R}^3\) définie par : \((x,y,t)\mapsto x^2+y^2-t^2\). Soit \[H=\left\{X\in\mathbf{R}^3\mid\Phi(X)=-1\right\}.\] Si \(P\in H\), \(T_H(P)\) est le plan vectoriel tangent en \(P\) à \(H\), et \(\Phi_P\) la restriction de \(\Phi\) à \(T_H(P)\).

Soit \(S=(0,0,-1)\) ; l’application \(\psi:H\setminus\{S\}\rightarrow\mathbf{R}^2\) est définie par : \(\psi(P)\) est l’intersection avec \(t=0\) de la droite \((SP)\).

Etudier \(\Phi_P\). Montrer que, si deux courbes de \(H\) de classe \(C^\infty\) se croisent en \(P\) selon l’angle \(\alpha\), il en est de même en \(\psi(P)\) de leurs images par \(\psi\).