Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1884] centrale MP 2010 (avec Maple)

Soit \(p\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). La surface \(S\) est définie par \(M(u,v)=\left(\displaystyle{u^2\over2p},u\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(v),u\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(v)\right)\).

1. Représenter \(S\) avec Maple.

2. Identifier \(S\).

3. Donner un vecteur normal à \(S\) au point de paramètre \((u,v)\).

4. Identifier le lieu des points qui sont centre d’une sphère tangente à \(S\) passant par \(F=(p/2,0,0)\). Interprétation de \(p\) ?

[planches/ex4106] navale PSI 2018 Soit \(S\) la surface d’équation \(x^2-y^2-z=1\), \(P\) le plan d’équation \(x+2y-z=0\). Donner l’ensemble des points \(M\) de \(S\) tels que le plan tangent à \(S\) en \(M\) soit parallèle à \(P\).

[oraux/ex3950] mines MP 2011 Donner les éléments de la quadrique d’équation : \[13x^2+10y^2+5z^2-4xy-6xz-12yz-14=0.\]

[oraux/ex5777] centrale PC 2012 Soit \((S)\) la surface d’équation \(x^2+y^2=z\).

1. Nature de \((S)\) ?

2. Soient \(a>0\) et \((P)\) le plan d’équation \(z=ax\). Nature (et éventuellement excentricité) de l’intersection de \((P)\) et de \((S)\) ?

[concours/ex2627] tpe, int, ivp M 1995 Soit la surface \(\mathscr{S}\) : \((x+y+z)^2=4yz\) ; angle des plans tangents à \(\mathscr{S}\) incluant la droite : \(\left\{x+2y=0;\ x-z=0\right\}\).

[concours/ex0566] tpe, int, ivp MP 1996 Trouver la surface engendrée par les droites rencontrant les trois droites \[\left\{\begin{array}{rcl}x&=&1\\y&=&0\end{array}\right.\,,\quad \left\{\begin{array}{rcl}x&=&0\\z&=&0\end{array}\right.\,,\quad \left\{\begin{array}{rcl}x&=&-1\\y&=&z\end{array}\right.\,.\]

[examen/ex4256] imt PSI 2025 Trouver les plans tangents à la surface d’équation \(x^2+y^2+z^2+4x+6y-2z=1\), qui sont parallèles au plan d’équation \(x+y+z=0\).

[oraux/ex1860] mines PC 2009 Nature de la surface d’équation : \(5x^2-7y^2-2z^2=1\).

[concours/ex2830] mines M 1994 Soit \((O,\mathchoice{\overrightarrow{i}}{\overrightarrow{i}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle i}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle i}},\mathchoice{\overrightarrow{j}}{\overrightarrow{j}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle j}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle j}},\mathchoice{\overrightarrow{k}}{\overrightarrow{k}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle k}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle k}})\) un repère orthonormé. Reconnaître la surface \(\Sigma\) d’équation \((x+y+z)^2-4yz=0\). Déterminer l’angle des plans tangents à \(\Sigma\) contenant la droite \((x=2y\ ;\ x=-z)\).

[concours/ex4195] mines M 1990 \((S)\) est la surface d’équation \(x^2+y^2=z^2\) (repère orthonormé). Nature de \((S)\) ? Déterminer les courbes de \((S)\) pour lesquelles le plan osculateur est orthogonal au plan tangent à \((S)\).