Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4406] centrale PC 2011 (avec Maple)

On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure euclidienne canonique.

Soit \(q:(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\mapsto x^2-y^2+2z^2+3xz+yz\).

1. Si \(\alpha\in\mathbf{R}\), déterminer la nature de \(\Sigma_\alpha=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ q(x,y,z)=\alpha\}\).

2. Montrer que la restriction de \(q\) à la sphère unité admet un maximum et un minimum. Déterminer ces extrema et les points en lesquels ils sont atteints.

3. Soient \(a\) et \(b\) dans \(\mathbf{R}^3\) non colinéaires. Déterminer : \(\Sigma_\alpha=\{x\in\mathbf{R}^3,\ \langle a,x\rangle\langle b,x\rangle=\alpha\}\) si \(\alpha\in\mathbf{R}\).

[oraux/ex5777] centrale PC 2012 Soit \((S)\) la surface d’équation \(x^2+y^2=z\).

1. Nature de \((S)\) ?

2. Soient \(a>0\) et \((P)\) le plan d’équation \(z=ax\). Nature (et éventuellement excentricité) de l’intersection de \((P)\) et de \((S)\) ?

[planches/ex3294] polytechnique MP 2018 Représenter dans \(\mathbf{R}^3\) les surfaces d’équations \(x^2+y^2-z^2=1\) et \(x^2+y^2-z^2=0\).

[oraux/ex1848] centrale MP 2008 Soit, dans \(\mathbf{R}^3\), \(H_1\) d’équation \(x^2-yz=1\) et \(H_2\) d’équation \(6x^2-y^2+11z^2=1\). Déterminer les droites tracées sur \(H_1\) et tangentes à \(H_2\).

[oraux/ex1823] PSI 2006 Trouver les plans de \(\mathbf{R}^3\) tangents à la surface d’équation \(x^2+y^2+4z^2=1\) et parallèles au plan d’équation \(x+2y+z=0\).

[concours/ex0985] centrale MP 1997 Soit \(\mathscr{P}\) le paraboloïde de révolution défini par \(\mathscr{P}:x^2+y^2=2pz\) (avec \(p>0\)). Trouver le lieu des centres des ellipses d’excentricité \(\displaystyle{1\over\sqrt 2}\) contenues dans \(\mathscr{P}\).

[fct.R2/ex0637] Calculer l’équation du plan tangent à \(z=xy\) en \(\left(2,\displaystyle{1\over2},1\right)\).

[oraux/ex9476] ccp PSI 2013 Dans \(\mathbf{R}^3\) euclidien standard, déterminer les points équidistants des droites \(3x+2z-1=y=0\) et \(x=z=0\).

[fct.R2/ex0450] Décrire et tracer le graphe de \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}=1\), où \(a\), \(b\), \(c>0\).

[oraux/ex1839] mines MP 2008 Nature de la quadrique d’équation \(z^2=xy\).