Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex0451] Décrire et tracer le graphe de \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}-{z^2\over c^2}=1\), où \(a\), \(b\), \(c>0\).

[fct.R2/ex1163] Soit \(\Sigma\) : \(x^2+y^2-2az=0\). Trouver les arcs \(C^1\) réguliers de \(\Sigma\) tels que la tangentes en \(M\) à l’arc rencontre \(Oz\) suivant un angle constant.

[oraux/ex5695] centrale PSI 2012 Nature de \(K=\left\{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\; xy +yz+xz+a(x^2+y^2+z^2)=b\right\}\) suivant \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) ? Pour quelles valeurs l’ensemble \(K\) est-il compact ?

[fct.R2/ex0940] Représenter et reconnaître la surface d’équation cartésienne : \[{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}-{z^2\over c^2}=1.\] Quelles sont les traces de cette surface sur les plans de coordonnées ?

[fct.R2/ex0468] Décrire le graphe de la fonction \(f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\), où \(a>0\).

[oraux/ex1758] centrale 2003 Soit \(U\in\mathbf{R}^n\), \(\alpha\) réel. On pose, pour \(X\in\mathbf{R}^n\) : \[Q(X)={}^tXX+\alpha({}^tUX)^2.\]

1. \(Q\) est-elle une forme quadratique ? Si oui, donner sa signature.

2. Réduire et dessiner la quadrique d’équation \(Q(X)=1\) pour \(n=3\) et \(U=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\).

[fct.R2/ex0644] Calculer un vecteur tangent au point \((2,1,4)\) à la courbe intersection du cône \(z^2=3x^2+4y^2\) et du plan \(3x-2y+z=8\).

[fct.R2/ex1162] Soit \(\Sigma\) : \(x^2+y^2-z^2=a^2\). Trouver les plans qui recontrent \(\Sigma\) suivant deux droites perpendiculaires.

[concours/ex2627] tpe, int, ivp M 1995 Soit la surface \(\mathscr{S}\) : \((x+y+z)^2=4yz\) ; angle des plans tangents à \(\mathscr{S}\) incluant la droite : \(\left\{x+2y=0;\ x-z=0\right\}\).

[oraux/ex1808] mines MP 2006 Reconnaître, si \(\alpha\in\mathbf{R}\), la quadrique d’équation : \[x^2+3y^2-3z^2-4xy+2xz-8yz+\alpha x+2y-z=1.\]