Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4136] mines PC 2011 Soient \(\mathscr{S}\) la surface de \(\mathbf{R}^3\) d’équation \(z^3=xy\) et \(\mathscr{D}\) la droite \((x=2,\ y=3(z+1))\). Déterminer les points réguliers de \(\mathscr{S}\) en lesquels le plan tangent à \(\mathscr{S}\) contient \(\mathscr{D}\).

[fct.R2/ex0468] Décrire le graphe de la fonction \(f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\), où \(a>0\).

[oraux/ex3950] mines MP 2011 Donner les éléments de la quadrique d’équation : \[13x^2+10y^2+5z^2-4xy-6xz-12yz-14=0.\]

[fct.R2/ex0640] Calculer l’équation du plan tangent à la sphère \(x^2+y^2+z^2=1\) au point \(\left(\displaystyle{1\over2},{1\over2},{1\over\sqrt2}\right)\).

[fct.R2/ex0653] Montrer que les surfaces \(x^2+y^2+z^2-8x-8y-6z+24=0\) et \(x^2+3y^2+2z^2=9\) sont tangentes en \((2,1,1)\).

[concours/ex2549] centrale M 1995 Nature de la surface \(\Sigma\) d’équation \(2xy-xz+2yz=0\). Déterminer son intersection avec le plan \(x+y+z=0\). La surface \(\Sigma\) contient-elle des cercles ?

[fct.R2/ex0456] Décrire et tracer le graphe de \(z=y^2-x^2\).

[concours/ex3346] centrale M 1993

1. Soit \(E\) un espace euclidien de dimension finie \(n\), et \(u\) un endomorphisme symétrique de \(E\). On pose : \[\mathscr{C}=\{x\in E\mid(u(x)\mid x)=0\}.\] Montrer que \(\mathscr{C}\) contient une base orthonormée si, et seulement si, \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits u=0\).

2. Dans l’espace affine euclidien \(\mathbf{R}^3\), on considère la parabole \((\mathscr{P})\) : \(y^2=2px\), \(z=0\). Déterminer les points \(M\) de l’espace tels qu’il passe par \(M\) trois droites orthogonales s’appuyant sur \((\mathscr{P})\).

[fct.R2/ex0651] Donner l’équation du plan normal à la courbe intersection des surfaces \(9x^2+4y^2-36z=0\) et \(3x+y+z-z^2-1=0\) au point \((2,-3,2)\).

[fct.R2/ex0461] Identifier la surface d’équation \(25x^2-y^2-z^2=25\).