Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex9428] polytechnique MP 2013

1. Parmi les triangles à côtés entiers ayant un angle de \(2\pi/3\), déterminer ceux de périmètre minimal.

2. Préciser la nature de la surface de \(\mathbf{R}^3\) d’équation \(z^2-x^2-y^2-xy=0\). Déterminer les symétries orthogonales de \(\mathbf{R}^3\) la préservant.

3. On considère un triangle \(ABC\) ayant un angle de \(2\pi/3\) au point \(A\). On note \(a=BC\), \(b=AC\) et \(c=AB\). Montrer que tout triangle de côtés respectifs \(b\), \(a\) et \(b+c\) possède un angle de \(\pi/3\). Donner un procédé géométrique permettant d’obtenir un tel triangle à partir de \(ABC\). Faire de même pour construire un triangle de côtés respectifs \(c\), \(a\) et \(b+c\).

[concours/ex3252] mines M 1993 Dans un espace affine euclidien de dimension \(3\), on donne deux droites \(D_1\) et \(D_2\). Équation de la surface engendrée par l’intersection de deux plans orthogonaux passant respectivement par \(D_1\) et \(D_2\). Nature ?

[concours/ex2054] centrale MP 1999 Soit \(\Sigma=\left\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\mid x^2+y^2-z^2-2bxy=0\right\}\) où \(b\in\mathbf{R}\).

1. Quelle est la nature de \(\Sigma\) ?

2. Trouver les plans coupant \(\Sigma\) suivant deux droites orthogonales.

[oraux/ex4410] centrale PC 2011 Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(3(x^2+y^2)=z^2\).

1. Caractériser \(\mathscr{S}\).

2. Soit \(\mathscr{C}\) l’intersection de \(\mathscr{S}\) et du plan d’équation \(z=\sqrt3\). Déterminer \(\mathscr{C}\). À l’aide de \(\mathscr{C}\) donner une paramétrisation de \(\mathscr{S}\).

3. Déterminer l’angle que font les génératrices avec \(\mathscr{C}\).

4. Soient \(\Gamma:t\mapsto(f(t),g(t),h(t))\) une courbe de classe \(\mathscr{C}^1\). Déterminer l’équation du plan tangent à \(\mathscr{S}\) en \(\Gamma(t_0)\).

[oraux/ex3675] polytechnique MP 2011 Dans \(\mathbf{R}^3\) muni de sa structure euclidienne standard, on considère deux ellipsoïdes \(\mathscr{E}\) et \(\mathscr{E}'\) (non nécessairement concentriques) tels que le domaine intérieur à \(\mathscr{E}\) soit inclus dans le domaine intérieur à \(\mathscr{E}'\). Comparer les demi-axes de \(\mathscr{E}\) et \(\mathscr{E}'\).

[oraux/ex1765] centrale 2004 Soit des réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(0<c<b<a\). Pour tout \(\lambda\) réel autre que \(-a\), \(-b\), \(-c\), on note \(Q_\lambda\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over\lambda+a}+{y^2\over\lambda+b}+{z^2\over\lambda+c}=0\).

1. Étudier, selon \(\lambda\), la nature de \(Q_\lambda\).

2. Soit \(M\in\mathbf{R}^3\) un point dont aucune coordonnée n’est nulle. Montrer qu’il existe exactement trois réels \(\lambda\) tels que \(M\in Q_\lambda\).

3. Montrer que les plans tangents en \(M\) aux trois surfaces \(Q_\lambda\) passant par \(M\) sont deux à deux perpendiculaires.

[fct.R2/ex0654] Montrer que les surfaces \(x^2+2y^2-4z^2=8\) et \(4x^2-y^2+2z^2=14\) sont perpendiculaires au point \((2,2,1)\).

[examen/ex4256] imt PSI 2025 Trouver les plans tangents à la surface d’équation \(x^2+y^2+z^2+4x+6y-2z=1\), qui sont parallèles au plan d’équation \(x+y+z=0\).

[oraux/ex1890] centrale PC 2010 Soit \(\Gamma\) la courbe de \(\mathbf{R}^3\) intersection de \(x^2+y^2+z^2=4\) et de \(x^2+y^2-2x=0\).

1. Déterminer un vecteur tangent en chaque point de \(\Gamma\).

2. Déterminer une équation cartésienne du projeté orthogonal de \(\Gamma\) sur \((yOz)\).

[oraux/ex1730] mines PC 2010 On se place dans \(\mathbf{R}^3\) muni de sa structure euclidienne canonique. Soit \(a>0\). Déterminer l’ensemble des courbes de classe \(\mathscr{C}^1\) régulières tracées dans \(x^2+y^2=a\) et telles qu’en tout point la tangente à la courbe soit tangente à la surface d’équation \(x^2+y^2+z^2=2a^2\).