Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1896] centrale PC 2010 (avec Maple)

Soit \((E)\) la surface d’équation \(x^2+y^2+4z^2=1\).

1. Représenter \((E)\).

2. Soit \(R\) la rotation d’axe dirigé par \(\vec u(4,3,0)\) et d’angle \(t\). Soit \((x',y',z')\) l’image de \((x,y,z)\) par \(R\). Exprimer \((x',y',z')\) en fonction de \((x,y,z)\).

3. Déterminer une équation de \((E_t)\), image de \((E)\) par \(R\).

[fct.R2/ex0647] Calculer les équations de la normale à la surface \(x^2+4y^2=z^2\) en \((3,2,5)\).

[concours/ex4032] polytechnique M 1990 Soit \(\Phi\) la forme quadratique sur \(\mathbf{R}^3\) définie par : \((x,y,t)\mapsto x^2+y^2-t^2\). Soit \[H=\left\{X\in\mathbf{R}^3\mid\Phi(X)=-1\right\}.\] Si \(P\in H\), \(T_H(P)\) est le plan vectoriel tangent en \(P\) à \(H\), et \(\Phi_P\) la restriction de \(\Phi\) à \(T_H(P)\).

Soit \(S=(0,0,-1)\) ; l’application \(\psi:H\setminus\{S\}\rightarrow\mathbf{R}^2\) est définie par : \(\psi(P)\) est l’intersection avec \(t=0\) de la droite \((SP)\).

Etudier \(\Phi_P\). Montrer que, si deux courbes de \(H\) de classe \(C^\infty\) se croisent en \(P\) selon l’angle \(\alpha\), il en est de même en \(\psi(P)\) de leurs images par \(\psi\).

[oraux/ex1860] mines PC 2009 Nature de la surface d’équation : \(5x^2-7y^2-2z^2=1\).

[oraux/ex1861] mines PC 2009 Soient \((a,b,c)\in(\mathbf{R}_+^*)^3\) et \(\mathscr{S}\) la surface d’équation : \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}=1\). Déterminer les plans tangents à \(\mathscr{S}\) coupant \((Ox)\), \((Oy)\) et \((Oz)\) respectivement en \(A\), \(B\), \(C\) avec \(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}\).

[concours/ex5768] mines MP 2007 On considère la quadrique \[\mathscr{S}\ :\ -2x^2+y^2-2z^2-4yz-4xy-2xz-6x-6y-6z=a,\] avec \(a\in\mathbf{R}\). Nature et forme réduite de \(\mathscr{S}\) ?

[oraux/ex1780] mines PSI 2005 Dessiner un paraboloïde elliptique.

[fct.R2/ex0636] Calculer l’équation du plan tangent à \(z=x^2+y^2\) en \((1,2,5)\).

[concours/ex5767] mines MP 2007 Nature de la surface d’équation : \(x^2+y^2=az^2\) avec \(a\in\mathbf{R}\) ?

[oraux/ex9505] centrale PSI 2014 Soit \((a,b)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\). Nature de la surface d’équation \(a^{xy}=b^z\) ?