Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex1551] centrale MP 1998

1. On considère l’ellipse d’équation \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1\) dans un repère orthonormé. Condition nécessaire et suffisante sur \((a,b)\) pour que l’excentricité \(e\) de cette ellipse soit égale à \(\displaystyle{\sqrt2\over2}\) ?

2. On considère le paraboloïde d’équation \(x^2+y^2=2pz\) dans un repère orthonormé. Lieu des centres des ellipses tracées sur le paraboloïde et d’excentricité \(e=\displaystyle{\sqrt2\over2}\) ? Lieu des foyers de ces ellipses.

   Indication : déterminer d’abord des propriétés géométriques des ensembles cherchés.

[concours/ex3255] mines M 1993 Déterminer le lieu des sommets des cônes circonscrits à : \[x^2+4y^2=z\] qui rencontrent le plan \(xOy\) selon un cercle.

[oraux/ex1848] centrale MP 2008 Soit, dans \(\mathbf{R}^3\), \(H_1\) d’équation \(x^2-yz=1\) et \(H_2\) d’équation \(6x^2-y^2+11z^2=1\). Déterminer les droites tracées sur \(H_1\) et tangentes à \(H_2\).

[fct.R2/ex0644] Calculer un vecteur tangent au point \((2,1,4)\) à la courbe intersection du cône \(z^2=3x^2+4y^2\) et du plan \(3x-2y+z=8\).

[oraux/ex3951] mines MP 2011 Soient \(S\) la surface d’équation \(xy=z^2\) de \(\mathbf{R}^3\), \(D\) la droite d’équations \(x=2\), \(y=3z-3\). Déterminer les points réguliers de \(S\) en lesquels le plan tangent à \(S\) contient \(D\).

[fct.R2/ex0637] Calculer l’équation du plan tangent à \(z=xy\) en \(\left(2,\displaystyle{1\over2},1\right)\).

[fct.R2/ex0991] Représenter et reconnaître la surface d’équation : \[x^2+y^2+z^2=16.\]

[oraux/ex1792] centrale PSI 2005 Soient \(P=\left\{\vphantom{|_|}\smash{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ x+y+z=1}\right\}\) et \(S=\left\{\vphantom{|_|}\smash{x^2+y^2+z^2-4x-6y=0}\right\}\). Déterminer \(P\cap S\).

[fct.R2/ex0646] Par chaque point sur la surface \(z=ax^2+by^2\) qui se trouve à une distance \(h\) au-dessus du plan \(Oxy\), on mène la normale à la surface. Calculer l’équation de la courbe formée par les intersections de ces normales avec le plan \(Oxy\).

[fct.R2/ex0453] Décrire et tracer le graphe de \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}={z^2\over c^2}\), où \(a\), \(b\), \(c>0\).