Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex9457] centrale PSI 2013 Soient \(D_1\) la droite qui passe par le point \(A_1=(1,-2,1)\) et a pour vecteur directeur \(u_1=(1,-2,1)\) et \[D_2=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ x+z+1=x+2y-7=0\}.\]

1. Trouver un vecteur directeur \(u_2\) de \(D_2\) et trouver un point qui appartient à \(D_2\) (on appellera ce point \(A_2\).

2. Paramétrer \(D_1\) et \(D_2\) et les représenter avec Maple.

3. On note \(d(A,D)\) la distance d’un point \(A\) à une droite \(D\). Trouver une équation cartésienne de \(H=\{M=(x,y,z),\ d(M,D_1)=d(M,D_2)\}\). Quele est la nature de la quadrique \(\mathscr{H}\) ?

4. Tracer \(H\) avec Maple (avec \(D_1\) et \(D_2\) si possible).

5. Soient \(M(s)=A_1+su_1\) et \(N(r)=A_2+ru_2\) deux points courant respectivement sur \(D_1\) et \(D_2\). Montrer que la fonction \(f:(s,r)\mapsto N(r)M(s)^2\) admet un minimum et trouver ce minimum. Interprétation géométrique ?

[planches/ex4730] polytechnique MP 2019 Décrire et représenter \(\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ x^2+y^2-2xz=0\}\).

[oraux/ex9438] mines MP 2013 Étudier la surface d’équation \[5x^2+13y^2+10z^2-6xy-12xz-4yz-14=0.\]

[concours/ex0312] mines MP 1996 On considère la surface \(\Sigma\) d’équation \(x^2+y^2-z^2\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits^2\alpha=0\). Déterminer l’ensemble des points de \(\mathbf{R}^3\) par lesquels passent deux plans tangents à \(\Sigma\) orthogonaux entre eux.

[oraux/ex1802] ccp PC 2005 Réduction de la quadrique d’équation : \(3x^2+8xy+4xz-4yz+y+z=0\).

[fct.R2/ex0999] Représenter l’ensemble des points de l’espace dont les coordonnées vérifient : \[x^2+y^2<z<x+y.\]

[oraux/ex1758] centrale 2003 Soit \(U\in\mathbf{R}^n\), \(\alpha\) réel. On pose, pour \(X\in\mathbf{R}^n\) : \[Q(X)={}^tXX+\alpha({}^tUX)^2.\]

1. \(Q\) est-elle une forme quadratique ? Si oui, donner sa signature.

2. Réduire et dessiner la quadrique d’équation \(Q(X)=1\) pour \(n=3\) et \(U=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\).

[planches/ex4106] navale PSI 2018 Soit \(S\) la surface d’équation \(x^2-y^2-z=1\), \(P\) le plan d’équation \(x+2y-z=0\). Donner l’ensemble des points \(M\) de \(S\) tels que le plan tangent à \(S\) en \(M\) soit parallèle à \(P\).

[oraux/ex1730] mines PC 2010 On se place dans \(\mathbf{R}^3\) muni de sa structure euclidienne canonique. Soit \(a>0\). Déterminer l’ensemble des courbes de classe \(\mathscr{C}^1\) régulières tracées dans \(x^2+y^2=a\) et telles qu’en tout point la tangente à la courbe soit tangente à la surface d’équation \(x^2+y^2+z^2=2a^2\).

[oraux/ex9428] polytechnique MP 2013

1. Parmi les triangles à côtés entiers ayant un angle de \(2\pi/3\), déterminer ceux de périmètre minimal.

2. Préciser la nature de la surface de \(\mathbf{R}^3\) d’équation \(z^2-x^2-y^2-xy=0\). Déterminer les symétries orthogonales de \(\mathbf{R}^3\) la préservant.

3. On considère un triangle \(ABC\) ayant un angle de \(2\pi/3\) au point \(A\). On note \(a=BC\), \(b=AC\) et \(c=AB\). Montrer que tout triangle de côtés respectifs \(b\), \(a\) et \(b+c\) possède un angle de \(\pi/3\). Donner un procédé géométrique permettant d’obtenir un tel triangle à partir de \(ABC\). Faire de même pour construire un triangle de côtés respectifs \(c\), \(a\) et \(b+c\).