Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1791] centrale PSI 2005 On se place dans \(\mathbf{R}^3\) euclidien canonique. Soient \(m\), \(\alpha\in\mathbf{R}^*\) et \(D\), \(D'\) les droites : \[D\left\{\begin{array}{l}y=mx\\z=\alpha\end{array}\right.\quad\hbox{et}\quad \left\{\begin{array}{l}y=-mx\\z=-\alpha.\end{array}\right.\] Trouver l’ensemble des \(M\in\mathbf{R}^3\) tels que \(d(M,D)=d(M,D')\).

[concours/ex0111] polytechnique MP 1996 Dans l’espace, trouver l’ensemble des points équidistants de deux droites non coplanaires données.

[oraux/ex1845] centrale MP 2008 Dans \(\mathbf{R}^3\) affine euclidien, soient \(D\) l’axe \((Oz)\) et \(D'\) la droite passant par \(A(a,0,0)\) avec \(a>0\) et dirigée par le vecteur de coordonnées \((1,1,1)\). Trouver le lieu des points équidistants de ces deux droites.

[oraux/ex1873] centrale PC 2009 Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation : \(x^2+y^2+4z^2=1\).

1. Reconnaître \(\mathscr{S}\). La tracer puis en donner un paramétrage.

2. Soit \(u=(1,1,1)\). Existe-t-il un vecteur normal à la surface et orthogonal à \(u\) ?

3. Soit \(\mathscr{P}\) le plan d’équation \(x+2y+4z=0\). Donner une base orthonormale adaptée à \(\mathscr{P}\).

4. Donner une équation de \(\mathscr{S}\) dans la base obtenue à la question précédente.

[oraux/ex4409] centrale PC 2011 (avec Maple)

Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(x^2+y^2+4z^2=1\).

1. Préciser la nature de \(\mathscr{S}\). En donner un paramétrage. Représenter \(\mathscr{S}\).

2. Déterminer un vecteur normal à \(\mathscr{S}\) en \(M(x,y,z)\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(\vec u(1,2,1)\) soit tangent à \(\mathscr{S}\) en \(M\). On note \(\Gamma\) l’ensemble des points \(M\) en lesquels \(\vec u\) est tangent à \(\mathscr{S}\).

3. Soit \(P\) le plan d’équation \(x+2y+4z=0\). Déterminer une base orthonormée directe de \(\mathbf{R}^3\) dont les deux premiers vecteurs appartiennent à \(P\). Donner l’équation de \(\Gamma\) dans cette base.

[oraux/ex1857] mines PSI 2009 Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la surface d’équation : \[(a^2+b^2)x^2+(a^2+c^2)y^2+(b^2+c^2)z^2-2abxy-2acxz-2bcyz=d.\]

[oraux/ex1782] mines PC 2005 Dans l’espace affine euclidien \(\mathbf{R}^3\), trouver le lieu des points équidistants d’une droite et d’un plan.

[oraux/ex4005] mines PSI 2011 Nature de la surface d’équation \(x^2+y^2+4z^2=1\) ? Équation des plans tangents ?

[oraux/ex4004] mines PSI 2011 Nature de la quadrique d’équation \(2xy+2yz+2xz=1\) ?

[concours/ex4191] mines M 1990 Déterminer, selon \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\), la nature de la surface d’équation : \[(b^2+c^2)x^2+(c^2+a^2)y^2+(a^2+b^2)z^2-2abxy-2bcyz-2cazx=0.\]