Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex2054] centrale MP 1999 Soit \(\Sigma=\left\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\mid x^2+y^2-z^2-2bxy=0\right\}\) où \(b\in\mathbf{R}\).

1. Quelle est la nature de \(\Sigma\) ?

2. Trouver les plans coupant \(\Sigma\) suivant deux droites orthogonales.

[oraux/ex4136] mines PC 2011 Soient \(\mathscr{S}\) la surface de \(\mathbf{R}^3\) d’équation \(z^3=xy\) et \(\mathscr{D}\) la droite \((x=2,\ y=3(z+1))\). Déterminer les points réguliers de \(\mathscr{S}\) en lesquels le plan tangent à \(\mathscr{S}\) contient \(\mathscr{D}\).

[oraux/ex1890] centrale PC 2010 Soit \(\Gamma\) la courbe de \(\mathbf{R}^3\) intersection de \(x^2+y^2+z^2=4\) et de \(x^2+y^2-2x=0\).

1. Déterminer un vecteur tangent en chaque point de \(\Gamma\).

2. Déterminer une équation cartésienne du projeté orthogonal de \(\Gamma\) sur \((yOz)\).

[oraux/ex4307] centrale PSI 2011 (avec Maple)

Soient \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx-x+y-3z=0\).

1. Représenter \(\mathscr{S}\). Trouver une équation réduite. Déterminer l’ensemble des cercles inclus dans \(\mathscr{S}\).

2. Soit \(u=(1,1,1)\). Déterminer l’ensemble \(\Gamma_u\) des points de \(\mathscr{S}\) en lesquels le plan tangent contient \(u\). Tracer \(\Gamma_u\). Déterminer le cylindre constitué des droites passant par \(\Gamma_u\) et dirigées par \(u\).

[oraux/ex9511] centrale PC 2014 (avec Maple)

Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \(A=\pmatrix{a&c&b\cr c&b&a\cr b&a&c}\).

1. Montrer que \(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\geqslant 0\). À quelle condition a-t-on égalité ?

2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? Que dire de ses valeurs propres ?

3. Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \(\mathscr{Q}\) d’équation \[a(x^2+2yz)+b(y^2+2xz)+c(z^2+2xy)=0.\]

   1. Tracer \(\mathscr{Q}\) pour \((a,b,c)=(1,2,-2/3)\), puis pour \((a,b,c)=(-1,-2,2/3)\).

   2. Caractériser cette surface.

   3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(\mathscr{Q}\) soit une surface de révolution.