Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1793] centrale PC 2005 Nature de la surface \((S)\) de \(\mathbf{R}^3\) définie par : \((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=k\). Est-elle de révolution ?

[oraux/ex4228] centrale MP 2011

1. Soient \(a\), \(b\), \(c\) des réels tels que \(b\leqslant c\). Montrer que \(a\) est dans \([b,c]\) si et seulement s’il existe \(y\) et \(z\) dans \(\mathbf{R}\) tels que : \(y^2+z^2=1\), \(by^2+cz^2=a\).

2. Soient \(a\), \(b\), \(c\) des réels tels que \(b\leqslant a\leqslant c\). Montrer qu’existent \(\alpha\) dans \(\mathbf{R}\) et \(P\) dans \(\mathscr{O}_3(\mathbf{R})\) tels que : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(a,b,c)={}^tP\left(\begin{array}{ccc}a&0&0\\0&a&\alpha\\ 0&\alpha&b+c-a\end{array}\right)P\).

3. Soient \(\mathscr{E}\) un ellipsoïde de \(\mathbf{R}^3\) centré en l’origine. Montrer qu’existe un plan \(P\) passant par l’origine tel que \(P\cap\mathscr{E}\) soit un cercle. Montre que les plans parallèles à \(P\) qui coupent \(\mathscr{E}\) le coupent selon un cercle. Déterminer les plans coupant \(\mathscr{E}\) selon un cercle.

[oraux/ex9428] polytechnique MP 2013

1. Parmi les triangles à côtés entiers ayant un angle de \(2\pi/3\), déterminer ceux de périmètre minimal.

2. Préciser la nature de la surface de \(\mathbf{R}^3\) d’équation \(z^2-x^2-y^2-xy=0\). Déterminer les symétries orthogonales de \(\mathbf{R}^3\) la préservant.

3. On considère un triangle \(ABC\) ayant un angle de \(2\pi/3\) au point \(A\). On note \(a=BC\), \(b=AC\) et \(c=AB\). Montrer que tout triangle de côtés respectifs \(b\), \(a\) et \(b+c\) possède un angle de \(\pi/3\). Donner un procédé géométrique permettant d’obtenir un tel triangle à partir de \(ABC\). Faire de même pour construire un triangle de côtés respectifs \(c\), \(a\) et \(b+c\).

[fct.R2/ex0460] Identifier la surface \(9x^2-y^2+16z^2=144\).

[fct.R2/ex0461] Identifier la surface d’équation \(25x^2-y^2-z^2=25\).