Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1885] centrale PSI 2010 Soient \(\mathscr{Q}\) la surface d’équation \(x^2+2y^2+z^2+4x-2z=0\) et \(A(2,0,1)\).

1. Déterminer la nature de \(\mathscr{Q}\).

2. Montrer qu’une droite \(\mathscr{D}\) est tangente à \(\mathscr{Q}\) si et seulement si \(\mathscr{Q}\cap\mathscr{D}\) est un singleton.

3. Déterminer le lieu des tangentes à \(\mathscr{Q}\) passant par \(A\).

[oraux/ex1730] mines PC 2010 On se place dans \(\mathbf{R}^3\) muni de sa structure euclidienne canonique. Soit \(a>0\). Déterminer l’ensemble des courbes de classe \(\mathscr{C}^1\) régulières tracées dans \(x^2+y^2=a\) et telles qu’en tout point la tangente à la courbe soit tangente à la surface d’équation \(x^2+y^2+z^2=2a^2\).

[oraux/ex1894] centrale PC 2010 Soient \(S\) la surface de \(\mathbf{R}^3\) d’équation \(x^2+y^2=2z+4\) et \(P\) la surface d’équation \(x+y+z=1\). Déterminer la projection de \(S\cap P\) sur le plan \(z=0\). En déduire les propriétés de \(S\cap P\).

[concours/ex5768] mines MP 2007 On considère la quadrique \[\mathscr{S}\ :\ -2x^2+y^2-2z^2-4yz-4xy-2xz-6x-6y-6z=a,\] avec \(a\in\mathbf{R}\). Nature et forme réduite de \(\mathscr{S}\) ?

[concours/ex4312] centrale M 1990 Soit \(S\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over a^2}-{y^2\over a^2}-{z^2\over a^2}=1\) ; l’identifier. Trouver \(\Sigma\), ensemble des projections orthogonales de \(O\) sur les plans tangents à \(S\). Volume intérieur à \(\Sigma\).