Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1882] centrale MP 2010 Trouver un plan passant par l’origine dont l’intersection avec l’ellipsoïde d’équation \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}=1\) (où \(a>b>c\)) soit un cercle.

[fct.R2/ex0644] Calculer un vecteur tangent au point \((2,1,4)\) à la courbe intersection du cône \(z^2=3x^2+4y^2\) et du plan \(3x-2y+z=8\).

[oraux/ex1878] polytechnique MP 2010 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure euclidienne canonique. Soit \(\mathscr{E}\) un ellipsoïde centré sur \(O\). Soient \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) trois points de \(\mathscr{E}\) tels que \(\mathchoice{\overrightarrow{OA_1}}{\overrightarrow{OA_1}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA_1}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA_1}}\), \(\mathchoice{\overrightarrow{OA_2}}{\overrightarrow{OA_2}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA_2}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA_2}}\), \(\mathchoice{\overrightarrow{OA_3}}{\overrightarrow{OA_3}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA_3}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA_3}}\) soient orthogonaux deux à deux. Montrer que \(\displaystyle{1\over OA_1^2}+{1\over OA_2^2}+{1\over OA_3^2}\) ne dépend que de \(\mathscr{E}\).

[concours/ex0987] centrale MP 1997 Soient des réels \(a\) et \(b\) et un entier \(n\geqslant 2\). On note \(A\) la matrice carrée d’ordre \(n\) : \[A=\left(\begin{array}{cccccc} a+b&b&\cdots&\cdots&\cdots&b\\ b&a&0&\cdots&0&\vdots\\ \vdots&0&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&0&\vdots\\ \vdots&0&\cdots&0&a&b\\ b&\cdots&\cdots&\cdots&b&a+b\end{array}\right)\,.\]

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable.

2. Trouver les éléments propres de \(A\).

3. Pour \(n=3\) discuter la nature de la quadrique d’équation \({}^tXAX=1\).

[fct.R2/ex0654] Montrer que les surfaces \(x^2+2y^2-4z^2=8\) et \(4x^2-y^2+2z^2=14\) sont perpendiculaires au point \((2,2,1)\).