[concours/ex0987] centrale MP 1997 Soient des réels \(a\) et \(b\) et un entier \(n\geqslant 2\). On note \(A\) la matrice carrée d’ordre \(n\) : \[A=\left(\begin{array}{cccccc} a+b&b&\cdots&\cdots&\cdots&b\\ b&a&0&\cdots&0&\vdots\\ \vdots&0&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&0&\vdots\\ \vdots&0&\cdots&0&a&b\\ b&\cdots&\cdots&\cdots&b&a+b\end{array}\right)\,.\]
[concours/ex0987]
Montrer que \(A\) est diagonalisable.
Trouver les éléments propres de \(A\).
Pour \(n=3\) discuter la nature de la quadrique d’équation \({}^tXAX=1\).
[planches/ex9542] polytechnique PSI 2023 Soient \(a\), \(b\), \(c\) trois réels strictement positifs.
[planches/ex9542]
On pose \(E=\displaystyle\left\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ \left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2+\left(\frac{z}{c}\right)^2=1\right\}\).
On suppose que \(A\), \(B\), \(C\) sont trois points distincts de \(E\) tels que le plan tangent à \(E\) en \(A\) est parallèle à \((BC)\), le plan tangent à \(E\) en \(B\) est parallèle à \((CA)\), le plan tangent à \(E\) en \(C\) est parallèle à \((AB)\).
Calculer le volume du parallélépipède engendré par les vecteurs \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\).
[oraux/ex1885] centrale PSI 2010 Soient \(\mathscr{Q}\) la surface d’équation \(x^2+2y^2+z^2+4x-2z=0\) et \(A(2,0,1)\).
[oraux/ex1885]
Déterminer la nature de \(\mathscr{Q}\).
Montrer qu’une droite \(\mathscr{D}\) est tangente à \(\mathscr{Q}\) si et seulement si \(\mathscr{Q}\cap\mathscr{D}\) est un singleton.
Déterminer le lieu des tangentes à \(\mathscr{Q}\) passant par \(A\).
[fct.R2/ex0638] Calculer l’équation du plan tangent à \(2x^2-y^2\) en \((1,1,1)\).
[fct.R2/ex0638]
[oraux/ex1871] centrale PC 2009 Étudier la quadrique d’équation \(16x^2-9y^2-9z^2+24x+18=0\) : nature, tracé, paramétrage.
[oraux/ex1871]
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